微分積分例

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[2, 4]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[2, 4]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

ステップ 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

ステップ 7

$(x + 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 8.1.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

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ステップ 8.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

ステップ 10

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

ステップ 12

答えを簡約します。

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ステップ 12.1

$\ln (| x |)]_{2}^{4}$ と $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

ステップ 12.2

代入し簡約します。

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ステップ 12.2.1

$4$ および $2$ で $\ln (| x |) - x^{- 1}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

ステップ 12.2.2

簡約します。

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ステップ 12.2.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

ステップ 12.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

ステップ 12.2.2.3

$- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

ステップ 12.2.2.4

$- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

ステップ 12.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

ステップ 12.2.2.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

ステップ 13.1.2

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

ステップ 13.1.3

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

ステップ 13.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 13.1.4.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

ステップ 13.1.4.2

分配則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

ステップ 13.1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.4.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

ステップ 13.1.4.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

ステップ 13.1.4.3.3

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

ステップ 13.1.4.3.4

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

ステップ 13.1.4.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

ステップ 13.1.4.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

ステップ 13.2

$2 \ln (2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

ステップ 13.3

$2 \ln (2)$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

ステップ 13.4

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

ステップ 13.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

ステップ 13.5.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

ステップ 13.6

$4$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

ステップ 13.7

$8 \ln (2)$ から $4 \ln (2)$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

ステップ 14

$4$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

ステップ 15

各項を簡約します。

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ステップ 15.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (2)$ を簡約します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

ステップ 15.2

$2$ を $4$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

ステップ 16

分配則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 17

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (16)$ を簡約します。

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 18

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

ステップ 19

各項を簡約します。

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ステップ 19.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

ステップ 19.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

ステップ 19.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

ステップ 19.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

ステップ 19.4

指数を求めます。

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例