微分積分例

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[1, 3]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[1, 3]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

ステップ 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

ステップ 7

$(x^{2} + 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 8.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8.2

$x^{0}$ を簡約します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

ステップ 8.3

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

ステップ 12

答えを簡約します。

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ステップ 12.1

$x]_{1}^{3}$ と $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

ステップ 12.2

代入し簡約します。

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ステップ 12.2.1

$3$ および $1$ で $x - x^{- 1}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

ステップ 12.2.2

簡約します。

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ステップ 12.2.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

ステップ 12.2.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

ステップ 12.2.2.3

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

ステップ 12.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

ステップ 12.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 12.2.2.5.1

$3$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

ステップ 12.2.2.5.2

$9$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

ステップ 12.2.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 12.2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

ステップ 12.2.2.8

$1$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

ステップ 12.2.2.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

ステップ 12.2.2.10

$\frac{8}{3}$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

ステップ 12.2.2.11

$4$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

ステップ 12.2.2.12

$4$ に $8$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

ステップ 13

$3$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

ステップ 14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{16}{3}$

ステップ 15

微分積分 例

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