微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , $[- 1, 11]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[- 1, 11]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} - 4 x + 5 d x)$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \int_{- 1}^{11} x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

ステップ 9

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 \int_{- 1}^{11} x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

ステップ 13

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$11$ および $- 1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

ステップ 13.2

$11$ および $- 1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

ステップ 13.3

$11$ および $- 1$ で $5 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$11$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{- 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.5

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.6

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331 + 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.7

$1331$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1332}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.8

$1332$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.8.1

$3$ を $1332$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 (1)}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.8.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{444}{1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.8.2.4

$444$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \cdot 444 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.9

$2$ に $444$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.10

$11$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.11

$- 1$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.12

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{121 - 1}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.13

$121$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{120}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.14

$120$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.14.1

$2$ を $120$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.14.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 (1)} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.14.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.14.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{60}{1}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.14.2.4

$60$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \cdot 60 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.15

$- 4$ に $60$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 240 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.16

$888$ から $240$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.17

$5$ に $11$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 - 5 \cdot - 1)$

ステップ 13.4.18

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 + 5)$

ステップ 13.4.19

$55$ と $5$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 60)$

ステップ 13.4.20

$648$ と $60$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (708)$

ステップ 14

$11$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot 708$

ステップ 15

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$12$ を $708$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 (59))$

ステップ 15.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 59)$

ステップ 15.3

式を書き換えます。

$A (x) = 59$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例