微分積分例

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[- 2, 2]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 1.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 1.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 1.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 1.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[- 2, 2]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 5

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $15$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 6

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 6.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 6.2

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 4 + 1$

ステップ 6.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 5$

ステップ 6.4

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4 + 1$

ステップ 6.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

ステップ 6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

ステップ 7.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $15$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$5$ および $5$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\ln (| 5 |)$ から $\ln (| 5 |)$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

ステップ 11.2.2

$\frac{15}{2}$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

ステップ 12

$2$ と $2$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

ステップ 13

$\frac{1}{4}$ に $0$ をかけます。

$A (x) = 0$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例