微分積分例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[0, 3]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{1 + x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 + x \geq 0$

ステップ 1.2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 1.3

$\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{1 + x} = 0$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x}$ を ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

簡約します。

$1 + x = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$1 + x = 0$

ステップ 1.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 1}$

区間記号：

$(- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 1}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 3]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

ステップ 5

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 5.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = 1 + x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 5.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = 1 + x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 3$

ステップ 5.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

ステップ 6.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

ステップ 6.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

ステップ 6.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$4$ および $1$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.4

指数を求めます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

ステップ 8.2.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

ステップ 8.2.8

$4$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

ステップ 9

分母を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

ステップ 9.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$A (x) = \frac{2}{3}$

ステップ 11

微分積分 例

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