微分積分例

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[0, 5]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 6}$

区間記号：

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 6}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 5]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

ステップ 5

$u = x - 6$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x - 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x - 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = x - 6$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 6$

ステップ 5.3

$0$ から $6$ を引きます。

$u_{lower} = - 6$

ステップ 5.4

$u = x - 6$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - 6$

ステップ 5.5

$5$ から $6$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

ステップ 6.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ および $- 6$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

ステップ 8.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

ステップ 8.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

ステップ 8.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

ステップ 8.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

ステップ 8.2.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

ステップ 8.2.8

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

ステップ 8.2.9

$6$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

ステップ 9

分母を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

ステップ 9.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

ステップ 10

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

ステップ 10.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例