微分積分例

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 4 x + 0$

ステップ 1.3.2

$3 x^{2} + 4 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 4 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x + 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} + 4 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 4 x + 0$

ステップ 4.1.3.2

$3 x^{2} + 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 4 x$ です。

$3 x^{2} + 4 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 4 x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 4 x = 0$

ステップ 5.2

$x$ を $3 x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x (3 x) + 4 x = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

ステップ 5.2.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot 4$ で因数分解します。

$x (3 x + 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$3 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$3 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 4 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $3 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 x = - 4$

ステップ 5.5.2.2

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{3}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4}{3}$

ステップ 5.6

最終解は $x (3 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{4}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - \frac{4}{3}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (0) + 4$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$6$ に $0$ をかけます。

$0 + 4$

ステップ 9.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 3$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{2} - 3$

ステップ 11.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

ステップ 11.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 3$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 3$

ステップ 11.2.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f (0) = - 3$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 12

$x = - \frac{4}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.1.1

$- \frac{4}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 (\frac{- 4}{3}) + 4$

ステップ 13.1.1.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{- 4}{3} + 4$

ステップ 13.1.1.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{- 4}{3} + 4$

ステップ 13.1.1.4

式を書き換えます。

$2 \cdot - 4 + 4$

ステップ 13.1.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 8 + 4$

ステップ 13.2

$- 8$ と $4$ をたし算します。

$- 4$

ステップ 14

$x = - \frac{4}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{4}{3}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \frac{4}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \frac{4}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 3$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 15.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 3$

ステップ 15.2.1.1.2

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 3$

ステップ 15.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{4^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 3$

ステップ 15.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{3^{3}} + 2 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 3$

ステップ 15.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + 2 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 3$

ステップ 15.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 15.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 3$

ステップ 15.2.1.5.2

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 3$

ステップ 15.2.1.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + 2 (1 (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 3$

ステップ 15.2.1.7

$\frac{4^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + 2 (\frac{4^{2}}{3^{2}}) - 3$

ステップ 15.2.1.8

$4$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + 2 (\frac{16}{3^{2}}) - 3$

ステップ 15.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + 2 (\frac{16}{9}) - 3$

ステップ 15.2.1.10

$2 (\frac{16}{9})$ を掛けます。

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ステップ 15.2.1.10.1

$2$ と $\frac{16}{9}$ をまとめます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{2 \cdot 16}{9} - 3$

ステップ 15.2.1.10.2

$2$ に $16$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32}{9} - 3$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 15.2.2.1

$\frac{32}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{3} - 3$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{32}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 3$

ステップ 15.2.2.3

$- 3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

ステップ 15.2.2.4

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

ステップ 15.2.2.6

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

ステップ 15.2.2.7

$3$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{32 \cdot 3}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 32 \cdot 3 - 3 \cdot 27}{27}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 15.2.4.1

$32$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 96 - 3 \cdot 27}{27}$

ステップ 15.2.4.2

$- 3$ に $27$ をかけます。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 96 - 81}{27}$

ステップ 15.2.5

式を簡約します。

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ステップ 15.2.5.1

$- 64$ と $96$ をたし算します。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{32 - 81}{27}$

ステップ 15.2.5.2

$32$ から $81$ を引きます。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 49}{27}$

ステップ 15.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{49}{27}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $- \frac{49}{27}$ です。

$y = - \frac{49}{27}$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3$ の極値です。

$(0, - 3)$ は極小値です

$(- \frac{4}{3}, - \frac{49}{27})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例