微分積分例

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{2}}{x + 2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$2$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$4 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$4$ と $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 4 (4 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.1.4

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 16 x + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.2

$8 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.5

$4 x$ を $4 x^{2} + 16 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

$4 x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (x) + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.5.2

$4 x$ を $16 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x (x) + 4 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.5.3

$4 x$ を $4 x (x) + 4 x (4)$ で因数分解します。

$\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子を0に等しくします。

$4 x (x + 4) = 0$

ステップ 2.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.3

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.2.3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.2.4

最終解は $4 x (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4$

ステップ 3

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{4 {(0)}^{2}}{(0) + 2}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ と $(0) + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2$ を $4 {(0)}^{2}$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{(0) + 2}$

ステップ 3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 (0) + 2}$

ステップ 3.2.1.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.1.2.3

$2$ を $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

ステップ 3.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

ステップ 3.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2}}{0 + 1}$

ステップ 3.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

ステップ 3.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

ステップ 3.2.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{1}$

ステップ 3.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4

$x = - 4$ における元の関数 $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{2}}{(- 4) + 2}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ と $(- 4) + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2$ を $4 {(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{(- 4) + 2}$

ステップ 4.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2}$

ステップ 4.2.1.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2 (1)}$

ステップ 4.2.1.2.3

$2$ を $2 \cdot - 2 + 2 (1)$ で因数分解します。

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

ステップ 4.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

ステップ 4.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{2}}{- 2 + 1}$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 2 + 1}$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 1}$

ステップ 4.2.2.3

$2$ に $16$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{32}{- 1}$

ステップ 4.2.2.4

$32$ を $- 1$ で割ります。

$f (- 4) = - 32$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 32$ です。

$- 32$

ステップ 5

関数 $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ の水平接線は $y = 0, y = - 32$ です。

$y = 0, y = - 32$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例