微分積分例

$f (x) = x^{2} - \frac{250}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} - \frac{250}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 250$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{250}{x}$ の微分係数は $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 x - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x - 250 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 250 (- x^{- 2})$

ステップ 1.2.4

$- 1$ に $- 250$ をかけます。

$2 x + 250 x^{- 2}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x + 250 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$250$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 x + \frac{250}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x + \frac{250}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{250}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{250}{x^{2}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{250}{x^{2}})$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{250}{x^{2}})$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (\frac{250}{x^{2}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{250}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$250$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{250}{x^{2}}$ の微分係数は $250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 2 + 250 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 + 250 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = 2 + 250 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 + 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 + 250 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 + 250 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 2.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 2 + 250 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 250 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 250 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 2.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 + 250 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

ステップ 2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 + 250 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 2.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = 2 + 250 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 2.3.10

$- 2$ に $250$ をかけます。

$f'' (x) = 2 - 500 x^{- 3}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 - 500 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 500$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 2 + \frac{- 500}{x^{3}}$

ステップ 2.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 2 - \frac{500}{x^{3}}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{500}{x^{3}} + 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - \frac{250}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{250}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 250$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{250}{x}$ の微分係数は $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 x - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x - 250 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 250 (- x^{- 2})$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $- 250$ をかけます。

$2 x + 250 x^{- 2}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x + 250 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

$250$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 x + \frac{250}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + \frac{250}{x^{2}}$ です。

$2 x + \frac{250}{x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5.3

$2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$2 x \cdot x^{2} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x^{1}) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 1} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$2 x^{3} + 250 = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$2 x^{3} + 250 = 0$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

方程式の両辺から $250$ を引きます。

$2 x^{3} = - 250$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $250$ を足します。

$2 x^{3} + 250 = 0$

ステップ 5.4.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$2$ を $2 x^{3} + 250$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (x^{3}) + 250 = 0$

ステップ 5.4.3.1.2

$2$ を $250$ で因数分解します。

$2 x^{3} + 2 \cdot 125 = 0$

ステップ 5.4.3.1.3

$2$ を $2 x^{3} + 2 \cdot 125$ で因数分解します。

$2 (x^{3} + 125) = 0$

ステップ 5.4.3.2

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

$2 (x^{3} + 5^{3}) = 0$

ステップ 5.4.3.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$2 ((x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

ステップ 5.4.3.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.4.1.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})) = 0$

ステップ 5.4.3.4.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)) = 0$

ステップ 5.4.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$

ステップ 5.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 5 = 0$

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

ステップ 5.4.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 5.4.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 5.4.6

$x^{2} - 5 x + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.1

$x^{2} - 5 x + 25$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

ステップ 5.4.6.2

$x$ について $x^{2} - 5 x + 25 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.4.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 5$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.3.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.3.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.4.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.4.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.5.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.5.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.7

最終解は $2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{250}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 5$

ステップ 8

$x = - 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{500}{{(- 5)}^{3}} + 2$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 5$ を $3$ 乗します。

$- \frac{500}{- 125} + 2$

ステップ 9.1.2

$500$ を $- 125$ で割ります。

$- - 4 + 2$

ステップ 9.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$4 + 2$

ステップ 9.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$6$

ステップ 10

$x = - 5$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 5$ は極小値です

ステップ 11

$x = - 5$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = {(- 5)}^{2} - \frac{250}{- 5}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = 25 - \frac{250}{- 5}$

ステップ 11.2.1.2

$250$ を $- 5$ で割ります。

$f (- 5) = 25 + 50$

ステップ 11.2.1.3

$- 1$ に $- 50$ をかけます。

$f (- 5) = 25 + 50$

ステップ 11.2.2

$25$ と $50$ をたし算します。

$f (- 5) = 75$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $75$ です。

$y = 75$

ステップ 12

$f (x) = x^{2} - \frac{250}{x}$ の極値です。

$(- 5, 75)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例