微分積分例

$f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 1.2.3

$- 20$ に $1$ をかけます。

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 1.3

$110$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $110$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$1014$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1014}{x}$ の微分係数は $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.4.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

ステップ 1.4.4

$- 1$ に $1014$ をかけます。

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$2 x - 20$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

$- 1014$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1014$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1014}{x^{2}}$ の微分係数は $- 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = 2 - 1014 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.3.10

$- 2$ に $- 1014$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 20)$

ステップ 2.4

$- 20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 20$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 + 2028 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2028$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.5.2.2

$2 + \frac{2028}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}}$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{2028}{x^{3}} + 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 4.1.2.3

$- 20$ に $1$ をかけます。

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 4.1.3

$110$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $110$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$1014$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1014}{x}$ の微分係数は $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.1.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 4.1.4.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

ステップ 4.1.4.4

$- 1$ に $1014$ をかけます。

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

$2 x - 20$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5.2.2

$- 1014$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ です。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5.3

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 1} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{3} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$- \frac{1014}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.4.1.1

$2$ を $2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (x^{3}) - 1014 - 20 x^{2} = 0$

ステップ 5.4.1.1.2

$2$ を $- 1014$ で因数分解します。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 - 20 x^{2} = 0$

ステップ 5.4.1.1.3

$2$ を $- 20 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

ステップ 5.4.1.1.4

$2$ を $2 x^{3} + 2 \cdot - 507$ で因数分解します。

$2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

ステップ 5.4.1.1.5

$2$ を $2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2})$ で因数分解します。

$2 (x^{3} - 507 - 10 x^{2}) = 0$

ステップ 5.4.1.2

項を並べ替えます。

$2 (x^{3} - 10 x^{2} - 507) = 0$

ステップ 5.4.1.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

$q = \pm 1$

ステップ 5.4.1.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

ステップ 5.4.1.3.1.3

$13$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $13$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1.3.1

$13$ を多項式に代入します。

$13^{3} - 10 \cdot 13^{2} - 507$

ステップ 5.4.1.3.1.3.2

$13$ を $3$ 乗します。

$2197 - 10 \cdot 13^{2} - 507$

ステップ 5.4.1.3.1.3.3

$13$ を $2$ 乗します。

$2197 - 10 \cdot 169 - 507$

ステップ 5.4.1.3.1.3.4

$- 10$ に $169$ をかけます。

$2197 - 1690 - 507$

ステップ 5.4.1.3.1.3.5

$2197$ から $1690$ を引きます。

$507 - 507$

ステップ 5.4.1.3.1.3.6

$507$ から $507$ を引きます。

$0$

ステップ 5.4.1.3.1.4

$13$ は既知の根なので、多項式を $x - 13$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} - 507}{x - 13}$

ステップ 5.4.1.3.1.5

$x^{3} - 10 x^{2} - 507$ を $x - 13$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$13$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$0 x$

$507$

ステップ 5.4.1.3.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$

ステップ 5.4.1.3.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			+	$x^{3}$	-	$13 x^{2}$

ステップ 5.4.1.3.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 13 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$

ステップ 5.4.1.3.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

ステップ 5.4.1.3.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 5.4.1.3.1.5.7

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 5.4.1.3.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$39 x$

ステップ 5.4.1.3.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} - 39 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$

ステップ 5.4.1.3.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$

ステップ 5.4.1.3.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

ステップ 5.4.1.3.1.5.12

被除数 $39 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

ステップ 5.4.1.3.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							+	$39 x$	-	$507$

ステップ 5.4.1.3.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $39 x - 507$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$

ステップ 5.4.1.3.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$
										$0$

ステップ 5.4.1.3.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 3 x + 39$

ステップ 5.4.1.3.1.6

$x^{3} - 10 x^{2} - 507$ を因数の集合として書き換えます。

$2 ((x - 13) (x^{2} + 3 x + 39)) = 0$

ステップ 5.4.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 13 = 0$

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

ステップ 5.4.3

$x - 13$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$x - 13$ が $0$ に等しいとします。

$x - 13 = 0$

ステップ 5.4.3.2

方程式の両辺に $13$ を足します。

$x = 13$

ステップ 5.4.4

$x^{2} + 3 x + 39$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

$x^{2} + 3 x + 39$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

ステップ 5.4.4.2

$x$ について $x^{2} + 3 x + 39 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.4.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 39$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $39$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.3

$9$ から $156$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.4

$- 147$ を $- 1 (147)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (147)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.7

$147$ を $7^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.3.1.7.1

$49$ を $147$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.7.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.1.9

$7$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $39$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.3

$9$ から $156$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.4

$- 147$ を $- 1 (147)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (147)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.7

$147$ を $7^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.4.1.7.1

$49$ を $147$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.7.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.1.9

$7$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.4.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.4.5

$- 1$ を $7 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.4.4.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- 7 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - 7 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.4.4.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $39$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.3

$9$ から $156$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.4

$- 147$ を $- 1 (147)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (147)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.7

$147$ を $7^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.5.1.7.1

$49$ を $147$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.7.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.1.9

$7$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.5.5

$- 1$ を $- 7 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (7 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.4.4.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (7 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + 7 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.4.4.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.4.5

最終解は $2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 13, - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1014}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 13$

ステップ 8

$x = 13$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2028}{{(13)}^{3}} + 2$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$13$ を $3$ 乗します。

$\frac{2028}{2197} + 2$

ステップ 9.1.2

$2028$ と $2197$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$169$ を $2028$ で因数分解します。

$\frac{169 (12)}{2197} + 2$

ステップ 9.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1

$169$ を $2197$ で因数分解します。

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

ステップ 9.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

ステップ 9.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{13} + 2$

ステップ 9.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{13}{13}$ を掛けます。

$\frac{12}{13} + 2 \cdot \frac{13}{13}$

ステップ 9.3

$2$ と $\frac{13}{13}$ をまとめます。

$\frac{12}{13} + \frac{2 \cdot 13}{13}$

ステップ 9.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 + 2 \cdot 13}{13}$

ステップ 9.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$2$ に $13$ をかけます。

$\frac{12 + 26}{13}$

ステップ 9.5.2

$12$ と $26$ をたし算します。

$\frac{38}{13}$

ステップ 10

$x = 13$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 13$ は極小値です

ステップ 11

$x = 13$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $13$ で置換えます。

$f (13) = {(13)}^{2} - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$13$ を $2$ 乗します。

$f (13) = 169 - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

ステップ 11.2.1.2

$- 20$ に $13$ をかけます。

$f (13) = 169 - 260 + 110 + \frac{1014}{13}$

ステップ 11.2.1.3

$1014$ を $13$ で割ります。

$f (13) = 169 - 260 + 110 + 78$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$169$ から $260$ を引きます。

$f (13) = - 91 + 110 + 78$

ステップ 11.2.2.2

$- 91$ と $110$ をたし算します。

$f (13) = 19 + 78$

ステップ 11.2.2.3

$19$ と $78$ をたし算します。

$f (13) = 97$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $97$ です。

$y = 97$

ステップ 12

$f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ の極値です。

$(13, 97)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例