微分積分例

$f (x) = - 0.1 x^{2} - x + 40$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- 0.1 x^{2} - x + 40$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 0.1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.1 x^{2}$ の微分係数は $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.1 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$- 0.2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 0.2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 0.2 x - 1 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$40$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $40$ の微分係数は $0$ です。

$- 0.2 x - 1 + 0$

ステップ 1.4.2

$- 0.2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$- 0.2 x - 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 0.2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 0.2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 0.2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 0.2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.2 x$ の微分係数は $- 0.2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 0.2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.3

$- 0.2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 0.2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 0.2 + 0$

ステップ 2.3.2

$- 0.2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 0.2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 0.2 x - 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $- 0.1 x^{2} - x + 40$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 0.1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.1 x^{2}$ の微分係数は $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.1 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$- 0.2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 0.2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 0.2 x - 1 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$40$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $40$ の微分係数は $0$ です。

$- 0.2 x - 1 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$- 0.2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 0.2 x - 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 0.2 x - 1$ です。

$- 0.2 x - 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 0.2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 0.2 x - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 0.2 x = 1$

ステップ 5.3

$- 0.2 x = 1$ の各項を $- 0.2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 0.2 x = 1$ の各項を $- 0.2$ で割ります。

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{1}{- 0.2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 0.2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{1}{- 0.2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{- 0.2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ を $- 0.2$ で割ります。

$x = - 5$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 5$

ステップ 8

$x = - 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 0.2$

ステップ 9

$x = - 5$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 5$ は極大値です

ステップ 10

$x = - 5$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = - 0.1 {(- 5)}^{2} - (- 5) + 40$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = - 0.1 \cdot 25 - (- 5) + 40$

ステップ 10.2.1.2

$- 0.1$ に $25$ をかけます。

$f (- 5) = - 2.5 - (- 5) + 40$

ステップ 10.2.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = - 2.5 + 5 + 40$

ステップ 10.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$- 2.5$ と $5$ をたし算します。

$f (- 5) = 2.5 + 40$

ステップ 10.2.2.2

$2.5$ と $40$ をたし算します。

$f (- 5) = 42.5$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $42.5$ です。

$y = 42.5$

ステップ 11

$f (x) = - 0.1 x^{2} - x + 40$ の極値です。

$(- 5, 42.5)$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

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