微分積分例

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ です。

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

${(x - 5)}^{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - 5$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.2.7

$5$ に $1$ をかけます。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

ステップ 1.3.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

ステップ 1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

ステップ 1.3.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

ステップ 1.3.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 {(x - 1)}^{5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ です。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

ステップ 1.3.6

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 1$ とします。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.3.6.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.3.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 1.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

ステップ 1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

ステップ 1.3.11

$5$ に $1$ をかけます。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

ステップ 1.3.12

$5$ に $5$ をかけます。

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

ステップ 1.4

$5$ を $5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$5$ を $5 {(x - 5)}^{4}$ で因数分解します。

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

ステップ 1.4.2

$5$ を $25 {(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

ステップ 1.4.3

$5$ を $5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ で因数分解します。

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ です。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

ステップ 2.1.2

総和則では、 ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ です。

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - 5$ とします。

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.3.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.3.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.3.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 {(x - 1)}^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ です。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 1$ とします。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

ステップ 2.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

ステップ 2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

ステップ 2.5.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

ステップ 2.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

ステップ 2.5.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

ステップ 2.5.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 2.5.5.2

$20$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

ステップ 2.6.2

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

ステップ 2.6.3

$20$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2.6.4

$20$ を $20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$20$ を $20 {(x - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2.6.4.2

$20$ を $100 {(x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

ステップ 2.6.4.3

$20$ を $20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ で因数分解します。

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例