微分積分例

$f (x) = x e^{x + y}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x + y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4.2

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

ステップ 1.3.6

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x e^{x + y} + e^{x + y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x + y}) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x + y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x + y}) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + y$ とします。

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$f'' (x) = x (e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.3

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$f'' (x) = x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.5

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.8

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.2.9

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + y$ とします。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x + y)$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x + y)$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))$

ステップ 2.3.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + 0)$

ステップ 2.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

ステップ 2.3.6

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$e^{x + y}$ と $e^{x + y}$ をたし算します。

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$

ステップ 2.4.3

$e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.3

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.4.2

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

ステップ 4.1.3.6

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x e^{x + y} + e^{x + y}$ です。

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

ステップ 5.2

$e^{x + y}$ を $x e^{x + y} + e^{x + y}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$e^{x + y}$ を $x e^{x + y}$ で因数分解します。

$e^{x + y} x + e^{x + y} = 0$

ステップ 5.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1 = 0$

ステップ 5.2.3

$e^{x + y}$ を $e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{x + y} (x + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x + y} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 5.4

$e^{x + y}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$e^{x + y}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x + y} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{x + y} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x + y}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

左辺を展開します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$x + y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x + y})$ を展開します。

$(x + y) \ln (e) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(x + y) \cdot 1 = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2.3

$x + y$ に $1$ をかけます。

$x + y = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.4.2.4

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x = Undefined - y$

ステップ 5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.6

最終解は $e^{x + y} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 1$

ステップ 8

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$(- 1) e^{(- 1) + y} + 2 e^{(- 1) + y}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$- 1 e^{- 1 + y}$ を $- e^{- 1 + y}$ に書き換えます。

$- e^{- 1 + y} + 2 e^{- 1 + y}$

ステップ 9.2

$- e^{- 1 + y}$ と $2 e^{- 1 + y}$ をたし算します。

$e^{- 1 + y}$

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例