微分積分例

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$0.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.3 x^{1.25}$ の微分係数は $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ です。

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 1.2.2

$n = 1.25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 1.2.3

$1.25$ に $0.3$ をかけます。

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.5 x$ の微分係数は $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 1.3.3

$- 1.5$ に $1$ をかけます。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$88.6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $88.6$ の微分係数は $0$ です。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

ステップ 1.4.2

$0.375 x^{0.25} - 1.5$ と $0$ をたし算します。

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $0.375 x^{0.25} - 1.5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$0.375$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.375 x^{0.25}$ の微分係数は $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ です。

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

ステップ 2.2.2

$n = 0.25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

ステップ 2.2.3

$0.25$ に $0.375$ をかけます。

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

ステップ 2.3

$- 1.5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1.5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$0.09375$ と $\frac{1}{x^{0.75}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

$\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.3 x^{1.25}$ の微分係数は $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ です。

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1.25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 4.1.2.3

$1.25$ に $0.3$ をかけます。

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.5 x$ の微分係数は $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 4.1.3.3

$- 1.5$ に $1$ をかけます。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$88.6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $88.6$ の微分係数は $0$ です。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$0.375 x^{0.25} - 1.5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $0.375 x^{0.25} - 1.5$ です。

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1.5$ を足します。

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

ステップ 5.3

$0.375 x^{0.25} = 1.5$ の各項を $0.375$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0.375 x^{0.25} = 1.5$ の各項を $0.375$ で割ります。

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$0.375$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{0.25}$ を $1$ で割ります。

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1.5$ を $0.375$ で割ります。

$x^{0.25} = 4$

ステップ 5.4

小数の指数を分数の指数に変換します。

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ステップ 5.4.1

10の累乗に10進数を掛けて、10進数を分数に変換します。小数点の右側に $2$ 数があるので、 $10^{2}$ $(100)$ に10進数をかけます。次に、小数点の左側に整数を加えます。

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

ステップ 5.4.2

分数を約分する

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ステップ 5.4.2.1

$0 \frac{25}{100}$ を仮分数に変換します。

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ステップ 5.4.2.1.1

帯分数は分数の整数部分と分数部分のたし算です。

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

ステップ 5.4.2.1.2

$0$ と $\frac{25}{100}$ をたし算します。

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

ステップ 5.4.2.2

$25$ と $100$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$25$ を $25$ で因数分解します。

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

ステップ 5.4.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1

$25$ を $100$ で因数分解します。

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

ステップ 5.4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

ステップ 5.4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

ステップ 5.5

方程式の両辺を $\frac{1}{0.25}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

ステップ 5.6

指数を簡約します。

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ステップ 5.6.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.6.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

ステップ 5.6.1.1.1.2

$0.25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1.1.2.1

$0.25$ を $1$ で因数分解します。

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

ステップ 5.6.1.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

ステップ 5.6.1.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

ステップ 5.6.1.1.1.3

$4$ を $4$ で割ります。

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

ステップ 5.6.1.1.2

簡約します。

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

ステップ 5.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$4^{\frac{1}{0.25}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.1

$1$ を $0.25$ で割ります。

$x = 4^{4}$

ステップ 5.6.2.1.2

$4$ を $4$ 乗します。

$x = 256$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 6.1.1

$0.25$ を分数に変えます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{100}{100}$ を掛け、少数を削除します。

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

ステップ 6.1.1.2

$100$ に $0.25$ をかけます。

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

ステップ 6.1.1.3

$25$ と $100$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$25$ を $25$ で因数分解します。

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

ステップ 6.1.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.3.2.1

$25$ を $100$ で因数分解します。

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

ステップ 6.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

ステップ 6.1.1.3.2.3

式を書き換えます。

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

ステップ 6.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

ステップ 6.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

ステップ 6.2

$\sqrt[4]{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 256$

ステップ 8

$x = 256$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$256$ を $0.75$ 乗します。

$\frac{0.09375}{64}$

ステップ 9.2

$0.09375$ を $64$ で割ります。

$0.00146484$

ステップ 10

$x = 256$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 256$ は極小値です

ステップ 11

$x = 256$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $256$ で置換えます。

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$256$ を $1.25$ 乗します。

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

ステップ 11.2.1.2

$0.3$ に $1024$ をかけます。

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

ステップ 11.2.1.3

$- 1.5$ に $256$ をかけます。

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$307.2$ から $384$ を引きます。

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

ステップ 11.2.2.2

$- 76.8$ と $88.6$ をたし算します。

$f (256) = 11.8$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $11.8$ です。

$y = 11.8$

ステップ 12

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ の極値です。

$(256, 11.8)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例