微分積分例

$f (x) = x^{7} - 3 x^{5}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{7} - 3 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$7 x^{6} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{6} - 3 (5 x^{4})$

ステップ 1.2.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$7 x^{6} - 15 x^{4}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $7 x^{6} - 15 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{4})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{6}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{4})$

ステップ 2.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{4})$

ステップ 2.2.3

$6$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{4})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{4}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 42 x^{5} - 15 \frac{d}{d x} x^{4}$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 42 x^{5} - 15 (4 x^{3})$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 15$ をかけます。

$f'' (x) = 42 x^{5} - 60 x^{3}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$7 x^{6} - 15 x^{4} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{7} - 3 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 4.1.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 7 x^{6} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 x^{6} - 3 (5 x^{4})$

ステップ 4.1.2.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 7 x^{6} - 15 x^{4}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $7 x^{6} - 15 x^{4}$ です。

$7 x^{6} - 15 x^{4}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $7 x^{6} - 15 x^{4} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$7 x^{6} - 15 x^{4} = 0$

ステップ 5.2

$x^{4}$ を $7 x^{6} - 15 x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x^{4}$ を $7 x^{6}$ で因数分解します。

$x^{4} (7 x^{2}) - 15 x^{4} = 0$

ステップ 5.2.2

$x^{4}$ を $- 15 x^{4}$ で因数分解します。

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 15 = 0$

ステップ 5.2.3

$x^{4}$ を $x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 15$ で因数分解します。

$x^{4} (7 x^{2} - 15) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} = 0$

$7 x^{2} - 15 = 0$

ステップ 5.4

$x^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{4} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$7 x^{2} - 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$7 x^{2} - 15$ が $0$ に等しいとします。

$7 x^{2} - 15 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $7 x^{2} - 15 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $15$ を足します。

$7 x^{2} = 15$

ステップ 5.5.2.2

$7 x^{2} = 15$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$7 x^{2} = 15$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{15}{7}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{15}{7}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{15}{7}$

ステップ 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{15}{7}}$

ステップ 5.5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{15}{7}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.1

$\sqrt{\frac{15}{7}}$ を $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}}$

ステップ 5.5.2.4.2

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

ステップ 5.5.2.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.3.1

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 5.5.2.4.3.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

ステップ 5.5.2.4.3.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

ステップ 5.5.2.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.5.2.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 5.5.2.4.3.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.5.2.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.5.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.2.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.2.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{7^{1}}$

ステップ 5.5.2.4.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15} \sqrt{7}}{7}$

ステップ 5.5.2.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15 \cdot 7}}{7}$

ステップ 5.5.2.4.4.2

$15$ に $7$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{105}}{7}$

ステップ 5.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{105}}{7}$

ステップ 5.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{105}}{7}$

ステップ 5.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{105}}{7}, - \frac{\sqrt{105}}{7}$

ステップ 5.6

最終解は $x^{4} (7 x^{2} - 15) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{\sqrt{105}}{7}, - \frac{\sqrt{105}}{7}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{\sqrt{105}}{7}, - \frac{\sqrt{105}}{7}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$42 {(0)}^{5} - 60 {(0)}^{3}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$42 \cdot 0 - 60 {(0)}^{3}$

ステップ 9.1.2

$42$ に $0$ をかけます。

$0 - 60 {(0)}^{3}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 60 \cdot 0$

ステップ 9.1.4

$- 60$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{105}}{7}) \cup (- \frac{\sqrt{105}}{7}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{105}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{105}}{7}, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $7 x^{6} - 15 x^{4}$ の区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{105}}{7})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 7 {(- 4)}^{6} - 15 {(- 4)}^{4}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 4$ を $6$ 乗します。

$f' (- 4) = 7 \cdot 4096 - 15 {(- 4)}^{4}$

ステップ 10.2.2.1.2

$7$ に $4096$ をかけます。

$f' (- 4) = 28672 - 15 {(- 4)}^{4}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f' (- 4) = 28672 - 15 \cdot 256$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 15$ に $256$ をかけます。

$f' (- 4) = 28672 - 3840$

ステップ 10.2.2.2

$28672$ から $3840$ を引きます。

$f' (- 4) = 24832$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $24832$ です。

$24832$

ステップ 10.3

一次導関数 $7 x^{6} - 15 x^{4}$ の区間 $(- \frac{\sqrt{105}}{7}, 0)$ から $- 1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 7 {(- 1)}^{6} - 15 {(- 1)}^{4}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 1$ を $6$ 乗します。

$f' (- 1) = 7 \cdot 1 - 15 {(- 1)}^{4}$

ステップ 10.3.2.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 7 - 15 {(- 1)}^{4}$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f' (- 1) = 7 - 15 \cdot 1$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 15$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 7 - 15$

ステップ 10.3.2.2

$7$ から $15$ を引きます。

$f' (- 1) = - 8$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 10.4

一次導関数 $7 x^{6} - 15 x^{4}$ の区間 $(0, \frac{\sqrt{105}}{7})$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 7 {(1)}^{6} - 15 {(1)}^{4}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 7 \cdot 1 - 15 {(1)}^{4}$

ステップ 10.4.2.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 7 - 15 {(1)}^{4}$

ステップ 10.4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 7 - 15 \cdot 1$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 15$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 7 - 15$

ステップ 10.4.2.2

$7$ から $15$ を引きます。

$f' (1) = - 8$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 10.5

一次導関数 $7 x^{6} - 15 x^{4}$ の区間 $(\frac{\sqrt{105}}{7}, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 7 {(4)}^{6} - 15 {(4)}^{4}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

$4$ を $6$ 乗します。

$f' (4) = 7 \cdot 4096 - 15 {(4)}^{4}$

ステップ 10.5.2.1.2

$7$ に $4096$ をかけます。

$f' (4) = 28672 - 15 {(4)}^{4}$

ステップ 10.5.2.1.3

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = 28672 - 15 \cdot 256$

ステップ 10.5.2.1.4

$- 15$ に $256$ をかけます。

$f' (4) = 28672 - 3840$

ステップ 10.5.2.2

$28672$ から $3840$ を引きます。

$f' (4) = 24832$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $24832$ です。

$24832$

ステップ 10.6

$x = - \frac{\sqrt{105}}{7}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極大値です。

$x = - \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極大値です

ステップ 10.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.8

$x = \frac{\sqrt{105}}{7}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極小値です。

$x = \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極小値です

ステップ 10.9

$f (x) = x^{7} - 3 x^{5}$ の極値です。

$x = - \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極大値です

$x = \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極小値です

$x = - \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極大値です

$x = \frac{\sqrt{105}}{7}$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例