微分積分例

$f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x + 5$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

ステップ 1.4

簡約します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 1.5

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 1.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 1.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 1.8.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 1.9

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

ステップ 1.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

ステップ 1.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 1.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 1.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

ステップ 1.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

ステップ 1.14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

ステップ 1.15

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

ステップ 1.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.3.1.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.3.1.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.3.1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.5

$- 5$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.3

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.5

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ から $x^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.3.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.3.5.2

$2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ から $x^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.4.1

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 1.17.4.2

まとめる。

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 1.17.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 1.17.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 1.17.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 1.17.4.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.4.6

$- 2$ と $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.4.7

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.4.8

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.4.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.4.9.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

ステップ 1.17.4.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.4.9.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.4.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.5.3.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.5.3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.5.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.5.3.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.5.3.1.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.5.3.2

$x^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.17.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 1.17.7

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.7.1

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

ステップ 1.17.7.2

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.17.7.2.2

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.17.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.17.7.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.17.7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.17.7.2.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.17.8

$2$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x - 5$ および $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 2.3.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 2.3.5.2

$x^{\frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 2.3.6

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 2.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 2.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

ステップ 2.9

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} + (- x + 5) (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.1

$- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.1.1

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.1.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.3

$5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.3.1

$5$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.3.2

$3$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.2

$x^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.3

$x^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.6

$2$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.7

$2 x^{\frac{3}{2}}$ から $3 x^{\frac{3}{2}}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.8.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.8.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.8.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $15 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.8.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}} + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.8.2

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.8.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.9

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.10

$15$ を $- 1 (- 15)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) - 1 \cdot - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.11

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 15)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.12

$- (x - 15)$ を $- 1 (x - 15)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{3}}$

ステップ 2.10.4.2

$\frac{1}{2 x^{3}}$ に $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2 x^{3} \cdot 2}$

ステップ 2.10.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{4 x^{3}}$

ステップ 2.10.4.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.10.4.5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

ステップ 2.10.4.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

ステップ 2.10.4.5.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.10.4.5.4

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 2.10.4.5.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 2.10.4.5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.5.6.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

ステップ 2.10.4.5.6.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 4.1.5

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 4.1.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 4.1.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 4.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 4.1.8.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 4.1.9

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

ステップ 4.1.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

ステップ 4.1.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 4.1.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 4.1.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

ステップ 4.1.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

ステップ 4.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

ステップ 4.1.15

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

ステップ 4.1.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.3.1.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.3.1.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.3.1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.5

$- 5$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.3

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.5

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ から $x^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.3.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.3.5.2

$2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ から $x^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.4.1

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 4.1.17.4.2

まとめる。

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.6

$- 2$ と $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.7

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.8

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.4.9.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.9.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.4.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.5.3.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.5.3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.5.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.5.3.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.5.3.1.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.5.3.2

$x^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.1.17.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 4.1.17.7

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.7.1

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

ステップ 4.1.17.7.2

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.1.17.7.2.2

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.1.17.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.1.17.7.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.1.17.7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.1.17.7.2.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.1.17.8

$2$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$

ステップ 6.2

$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x^{3}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

積の法則を $2 x^{\frac{3}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{3} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x^{3} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$4 x^{3} = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$4 x^{3} = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 6.3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 6.3.3.1.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{4}$

ステップ 6.3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 6.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.3.3.3

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.3.3.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6.4

$\sqrt{x^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

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ステップ 6.5.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.5.2

方程式を簡約します。

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ステップ 6.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.5.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x < 0$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 5$

ステップ 8

$x = 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{(5) - 15}{4 {(5)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$5$ から $15$ を引きます。

$- \frac{- 10}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 9.2

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- 5)}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 9.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$2$ を $4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- 5)}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot - 5}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

ステップ 9.3.3

式を書き換えます。

$- \frac{- 5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 9.4

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 9.5

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $5^{1}$ を分母に移動させます。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

ステップ 9.6

指数を足して $5^{\frac{5}{2}}$ に $5^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

$5^{- 1}$ を移動させます。

$- - \frac{1}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

ステップ 9.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{2}}}$

ステップ 9.6.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

ステップ 9.6.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

ステップ 9.6.5

公分母の分子をまとめます。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}}}$

ステップ 9.6.6

分子を簡約します。

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ステップ 9.6.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 5}{2}}}$

ステップ 9.6.6.2

$- 2$ と $5$ をたし算します。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.7

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 9.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.7.2

$\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

$x = 5$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 5$ は極小値です

ステップ 11

$x = 5$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

括弧を削除します。

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

ステップ 11.2.2

$5$ と $5$ をたし算します。

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}}$

ステップ 11.2.3

$\frac{10}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 11.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 11.2.4.1

$\frac{10}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 11.2.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 11.2.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 11.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 11.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 11.2.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 11.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 11.2.4.6.5

指数を求めます。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 11.2.5

$10$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$5$ を $10 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

ステップ 11.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

ステップ 11.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

ステップ 11.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

ステップ 11.2.5.2.4

$2 \sqrt{5}$ を $1$ で割ります。

$f (5) = 2 \sqrt{5}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $2 \sqrt{5}$ です。

$y = 2 \sqrt{5}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$ の極値です。

$(5, 2 \sqrt{5})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例