微分積分例

$y = \arcsin (e^{4 x - 1})$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = e^{4 x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{4 x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\arcsin (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{4 x - 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{4 x - 1})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

ステップ 2

${(e^{4 x - 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{(4 x - 1) \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{4 x \cdot 2 - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

ステップ 2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

ステップ 2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x - 1$ とします。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$e^{4 x - 1}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

ステップ 4.2

総和則では、 $4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + 0)$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \cdot 4$

ステップ 4.7.2

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{e^{4 x - 1} \cdot 4}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$

ステップ 4.7.3

$4$ を $e^{4 x - 1}$ の左に移動させます。

$\frac{4 e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$

微分積分 例

微分積分例