微分積分例

$f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = - x - 2$ および $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.2

総和則では、 $- x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.6.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.9

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.11

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.12

$- 1$ を ${(x - 5)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.13

$- 1 {(x - 5)}^{2}$ を $- {(x - 5)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.15

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.16

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.17

${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.17.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.18

$x - 5$ を $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.1

$x - 5$ を $- {(x - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.18.2

$x - 5$ を $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.18.3

$x - 5$ を $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.19.1

$x - 5$ を ${(x - 5)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.19.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.19.3

式を書き換えます。

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4.3.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4.3.4

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4.3.5

$5$ と $4$ をたし算します。

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 1.4.3.6

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x + 9$ および $g (x) = {(x - 5)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(x - 5)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.2.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.2.5.2

${(x - 5)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.4

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.4.2

${(x - 5)}^{2}$ を ${(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${(x - 5)}^{2}$ を ${(x - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.4.2.2

${(x - 5)}^{2}$ を $- 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.4.2.3

${(x - 5)}^{2}$ を ${(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

ステップ 2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

${(x - 5)}^{2}$ を ${(x - 5)}^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.6

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.8

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.9.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9)}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 3 \cdot 9}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

$- 3$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.2.2

$x$ から $3 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 5 - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.2.3

$- 5$ から $27$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.3

$2$ を $- 2 x - 32$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x) - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.2

$2$ を $- 32$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (- 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (- 16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.5

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (16)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.7

$- (x + 16)$ を $- 1 (x + 16)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.10.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.2

総和則では、 $- x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.6.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.7

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.9

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.11

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.12

$- 1$ を ${(x - 5)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.13

$- 1 {(x - 5)}^{2}$ を $- {(x - 5)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.15

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.16

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.17

${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.17.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.17.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.18

$x - 5$ を $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.18.1

$x - 5$ を $- {(x - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.18.2

$x - 5$ を $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.18.3

$x - 5$ を $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.19.1

$x - 5$ を ${(x - 5)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.19.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.19.3

式を書き換えます。

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4.3.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4.3.4

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4.3.5

$5$ と $4$ をたし算します。

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

ステップ 4.1.4.3.6

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ です。

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x + 9 = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 5)}^{3} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 9$

ステップ 8

$x = - 9$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2 ((- 9) + 16)}{{((- 9) - 5)}^{4}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$- 9$ と $16$ をたし算します。

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 9 - 5)}^{4}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- 9$ から $5$ を引きます。

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 14)}^{4}}$

ステップ 9.2.2

$- 14$ を $4$ 乗します。

$- \frac{2 \cdot 7}{38416}$

ステップ 9.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.3.1

$2$ に $7$ をかけます。

$- \frac{14}{38416}$

ステップ 9.3.2

$14$ と $38416$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$14$ を $14$ で因数分解します。

$- \frac{14 (1)}{38416}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$14$ を $38416$ で因数分解します。

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2744}$

ステップ 10

$x = - 9$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 9$ は極大値です

ステップ 11

$x = - 9$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 9$ で置換えます。

$f (- 9) = \frac{- (- 9) - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$f (- 9) = \frac{9 - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

ステップ 11.2.1.2

$9$ から $2$ を引きます。

$f (- 9) = \frac{7}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

$- 9$ から $5$ を引きます。

$f (- 9) = \frac{7}{{(- 14)}^{2}} + 9$

ステップ 11.2.2.1.2

$- 14$ を $2$ 乗します。

$f (- 9) = \frac{7}{196} + 9$

ステップ 11.2.2.2

$7$ と $196$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{7 (1)}{196} + 9$

ステップ 11.2.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.2.1

$7$ を $196$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

ステップ 11.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

ステップ 11.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9$

ステップ 11.2.3

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{28}{28}$ を掛けます。

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9 \cdot \frac{28}{28}$

ステップ 11.2.4

$9$ と $\frac{28}{28}$ をまとめます。

$f (- 9) = \frac{1}{28} + \frac{9 \cdot 28}{28}$

ステップ 11.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- 9) = \frac{1 + 9 \cdot 28}{28}$

ステップ 11.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.6.1

$9$ に $28$ をかけます。

$f (- 9) = \frac{1 + 252}{28}$

ステップ 11.2.6.2

$1$ と $252$ をたし算します。

$f (- 9) = \frac{253}{28}$

ステップ 11.2.7

最終的な答えは $\frac{253}{28}$ です。

$y = \frac{253}{28}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ の極値です。

$(- 9, \frac{253}{28})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例