微分積分例

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.4

$3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d x} [6 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$6 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x y$ の微分係数は $6 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

ステップ 1.5.3

$6$ に $1$ をかけます。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$24 x - 6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

ステップ 1.6.2

項を並べ替えます。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

ステップ 2.3.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$6 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6 y$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

ステップ 2.4.2

$- 12 x + 24$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 x + 24$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.4

$3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

ステップ 4.1.5

$\frac{d}{d x} [6 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$6 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x y$ の微分係数は $6 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

ステップ 4.1.5.3

$6$ に $1$ をかけます。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$24 x - 6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

ステップ 4.1.6.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ です。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

ステップ 5.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3

$a = - 6$ 、 $b = 24$ 、および $c = 6 y$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$24$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.2

$- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.2.2

$24$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.3

$144$ を $576 + 144 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1

$144$ を $576$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.3.2

$144$ を $144 \cdot 4 + 144 y$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.4

$144 (4 + y)$ を $12^{2} (2^{2} + y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

ステップ 5.4.3

$\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

ステップ 5.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$24$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.2

$- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.2.2

$24$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.3

$144$ を $576 + 144 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.1

$144$ を $576$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.3.2

$144$ を $144 \cdot 4 + 144 y$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.4

$144 (4 + y)$ を $12^{2} (2^{2} + y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.4.1

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

ステップ 5.5.3

$\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

ステップ 5.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

ステップ 5.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$24$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.2

$- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.2.1

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.2.2

$24$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.3

$144$ を $576 + 144 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.3.1

$144$ を $576$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.3.2

$144$ を $144 \cdot 4 + 144 y$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.4

$144 (4 + y)$ を $12^{2} (2^{2} + y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.4.1

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

ステップ 5.6.3

$\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

ステップ 5.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

ステップ 8

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分配則を当てはめます。

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

ステップ 9.1.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

ステップ 9.2

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- 24$ と $24$ をたし算します。

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

ステップ 9.2.2

$0$ から $12 \sqrt{4 + y}$ を引きます。

$- 12 \sqrt{4 + y}$

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例