微分積分例

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $12 e^{x} - e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 e^{x}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{2 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 1.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 e^{x}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{2 x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 2.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 2.3.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 12 e^{x} - 4 e^{2 x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $12 e^{x} - e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 e^{x}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{2 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 4.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 4.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 4.1.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 4.1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ です。

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$12 e^{x} - 2 {(e^{x})}^{2} = 0$

ステップ 5.2.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$12 u - 2 u^{2} = 0$

ステップ 5.2.3

$2 u$ を $12 u - 2 u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.3.1

$2 u$ を $12 u$ で因数分解します。

$2 u (6) - 2 u^{2} = 0$

ステップ 5.2.3.2

$2 u$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$2 u (6) + 2 u (- u) = 0$

ステップ 5.2.3.3

$2 u$ を $2 u (6) + 2 u (- u)$ で因数分解します。

$2 u (6 - u) = 0$

ステップ 5.2.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

ステップ 5.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

$6 - e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$6 - e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$6 - e^{x} = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $6 - e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- e^{x} = - 6$

ステップ 5.5.2.2

$- e^{x} = - 6$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$- e^{x} = - 6$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.3.1

$- 6$ を $- 1$ で割ります。

$e^{x} = 6$

ステップ 5.5.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

ステップ 5.5.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 5.5.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (6)$

ステップ 5.5.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (6)$

ステップ 5.5.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (6)$

ステップ 5.6

最終解は $2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (6)$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \ln (6)$

ステップ 8

$x = \ln (6)$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 e^{\ln (6)} - 4 e^{2 (\ln (6))}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$12 \cdot 6 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

ステップ 9.1.2

$12$ に $6$ をかけます。

$72 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

ステップ 9.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 (\ln (6))$ を簡約します。

$72 - 4 e^{\ln (6^{2})}$

ステップ 9.1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$72 - 4 \cdot 6^{2}$

ステップ 9.1.5

$6$ を $2$ 乗します。

$72 - 4 \cdot 36$

ステップ 9.1.6

$- 4$ に $36$ をかけます。

$72 - 144$

ステップ 9.2

$72$ から $144$ を引きます。

$- 72$

ステップ 10

$x = \ln (6)$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \ln (6)$ は極大値です

ステップ 11

$x = \ln (6)$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\ln (6)$ で置換えます。

$f (\ln (6)) = 12 e^{\ln (6)} - e^{2 (\ln (6))}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (6)) = 12 \cdot 6 - e^{2 (\ln (6))}$

ステップ 11.2.1.2

$12$ に $6$ をかけます。

$f (\ln (6)) = 72 - e^{2 (\ln (6))}$

ステップ 11.2.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 (\ln (6))$ を簡約します。

$f (\ln (6)) = 72 - e^{\ln (6^{2})}$

ステップ 11.2.1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (6)) = 72 - 6^{2}$

ステップ 11.2.1.5

$6$ を $2$ 乗します。

$f (\ln (6)) = 72 - 1 \cdot 36$

ステップ 11.2.1.6

$- 1$ に $36$ をかけます。

$f (\ln (6)) = 72 - 36$

ステップ 11.2.2

$72$ から $36$ を引きます。

$f (\ln (6)) = 36$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $36$ です。

$y = 36$

ステップ 12

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$ の極値です。

$(\ln (6), 36)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例