微分積分例

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.1.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ です。

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.1.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ を ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.1.4.2

${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.1.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.3.5.2

$- 6$ に $1$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 1.4

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.5.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.5.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.5.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

ステップ 1.5.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

ステップ 1.5.6.2

$- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

ステップ 1.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

$- 6$ と $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.4.3

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.4.4

$- 10$ と $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.4.5

$- 10$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.6.4.7

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1.6.4.8

$10$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

ステップ 1.6.4.9

$10$ に $2$ をかけます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

ステップ 1.6.5

項を並べ替えます。

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{20}{x^{3}}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{3}$ とします。

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 20 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 20 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 20 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.2.8

$- 3$ に $20$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}]$ です。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ を ${({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を ${(x + 3)}^{3}$ とします。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3}))$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を ${(x + 3)}^{3}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

ステップ 2.3.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $x + 3$ とします。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3)))$

ステップ 2.3.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

ステップ 2.3.4.3

$u_{3}$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

ステップ 2.3.5

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))))$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))))$

ステップ 2.3.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

ステップ 2.3.8

${({(x + 3)}^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

ステップ 2.3.8.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

ステップ 2.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1))$

ステップ 2.3.10

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2}))$

ステップ 2.3.11

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 6} {(x + 3)}^{2})$

ステップ 2.3.12

指数を足して ${(x + 3)}^{- 6}$ に ${(x + 3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.12.1

${(x + 3)}^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 ({(x + 3)}^{2} {(x + 3)}^{- 6}))$

ステップ 2.3.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{2 - 6})$

ステップ 2.3.12.3

$2$ から $6$ を引きます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 4})$

ステップ 2.3.13

$- 3$ に $- 60$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

ステップ 2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$- 60$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

ステップ 2.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

ステップ 2.4.3.3

$180$ と $\frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + \frac{180}{{(x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{180}{{(x + 3)}^{4}} - \frac{60}{x^{4}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 4.1.1.2

総和則では、 $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.1.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ です。

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.1.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.4.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ を ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.1.4.2

${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.1.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.3.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.3.5.2

$- 6$ に $1$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 4.1.4

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.5.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.5.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.5.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

ステップ 4.1.5.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

ステップ 4.1.5.6.2

$- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

ステップ 4.1.6

簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

ステップ 4.1.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.3

分配則を当てはめます。

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

$- 6$ と $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.4.3

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.4.4

$- 10$ と $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.4.5

$- 10$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.6.4.7

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 4.1.6.4.8

$10$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

ステップ 4.1.6.4.9

$10$ に $2$ をかけます。

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

ステップ 4.1.6.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ です。

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx 6.78350009$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{20}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6.3

$\frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 3)}^{3} = 0$

ステップ 6.4

$x$ について解きます。

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ステップ 6.4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6.5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 3, x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 6.78350009$

ステップ 8

$x = 6.78350009$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{180}{{((6.78350009) + 3)}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$6.78350009$ と $3$ をたし算します。

$\frac{180}{{9.78350009}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

ステップ 9.1.1.2

$9.78350009$ を $4$ 乗します。

$\frac{180}{9161.72000483} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

ステップ 9.1.2

$180$ を $9161.72000483$ で割ります。

$0.01964696 - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

ステップ 9.1.3

$6.78350009$ を $4$ 乗します。

$0.01964696 - \frac{60}{2117.46062276}$

ステップ 9.1.4

$60$ を $2117.46062276$ で割ります。

$0.01964696 - 1 \cdot 0.02833582$

ステップ 9.1.5

$- 1$ に $0.02833582$ をかけます。

$0.01964696 - 0.02833582$

ステップ 9.2

$0.01964696$ から $0.02833582$ を引きます。

$- 0.00868886$

ステップ 10

$x = 6.78350009$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 6.78350009$ は極大値です

ステップ 11

$x = 6.78350009$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $6.78350009$ で置換えます。

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{((6.78350009) + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1.1

$6.78350009$ と $3$ をたし算します。

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{9.78350009}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

ステップ 11.2.1.1.2

$9.78350009$ を $2$ 乗します。

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{95.71687419} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

ステップ 11.2.1.2

$3$ を $95.71687419$ で割ります。

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

ステップ 11.2.1.3

$6.78350009$ を $2$ 乗します。

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{46.01587359})$

ステップ 11.2.1.4

$1$ を $46.01587359$ で割ります。

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 1 \cdot 0.02173163)$

ステップ 11.2.1.5

$- 1$ に $0.02173163$ をかけます。

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 0.02173163)$

ステップ 11.2.2

式を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$0.03134243$ から $0.02173163$ を引きます。

$f (6.78350009) = 10 \cdot 0.0096108$

ステップ 11.2.2.2

$10$ に $0.0096108$ をかけます。

$f (6.78350009) = 0.09610804$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0.09610804$ です。

$y = 0.09610804$

ステップ 12

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ の極値です。

$(6.78350009, 0.09610804)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例