微分積分例

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $10 x - 10 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

ステップ 1.2.3

$10$ に $1$ をかけます。

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 \cos (x)$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$10 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$10 - 10 (- \sin (x))$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$10 + 10 \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $10 + 10 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

ステップ 2.1.2

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 \sin (x)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 0 + 10 \cos (x)$

ステップ 2.3

$0$ と $10 \cos (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = 10 \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$10 + 10 \sin (x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$10 \sin (x) = - 10$

ステップ 5

$10 \sin (x) = - 10$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$10 \sin (x) = - 10$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

ステップ 5.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 10}{10}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 10$ を $10$ で割ります。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 8

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 9

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 9.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 9.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 10

方程式 $x = - \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 11

$x = - \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$10 \cos (- \frac{π}{2})$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$10 \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 12.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$10 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 12.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$10 \cdot 0$

ステップ 12.4

$10$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 13

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 13.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

ステップ 13.2

一次導関数 $10 + 10 \sin (x)$ の区間 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 13.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 10 + 10 \sin (- 4)$

ステップ 13.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.2.2.1.1

$\sin (- 4)$ の値を求めます。

$f' (- 4) = 10 + 10 \cdot 0.75680249$

ステップ 13.2.2.1.2

$10$ に $0.75680249$ をかけます。

$f' (- 4) = 10 + 7.56802495$

ステップ 13.2.2.2

$10$ と $7.56802495$ をたし算します。

$f' (- 4) = 17.56802495$

ステップ 13.2.2.3

最終的な答えは $17.56802495$ です。

$17.56802495$

ステップ 13.3

一次導関数 $10 + 10 \sin (x)$ の区間 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 13.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 10 + 10 \sin (0)$

ステップ 13.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.3.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f' (0) = 10 + 10 \cdot 0$

ステップ 13.3.2.1.2

$10$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 10 + 0$

ステップ 13.3.2.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 10$

ステップ 13.3.2.3

最終的な答えは $10$ です。

$10$

ステップ 13.4

一次導関数 $10 + 10 \sin (x)$ の区間 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ から $7$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 13.4.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = 10 + 10 \sin (7)$

ステップ 13.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.4.2.1.1

$\sin (7)$ の値を求めます。

$f' (7) = 10 + 10 \cdot 0.65698659$

ステップ 13.4.2.1.2

$10$ に $0.65698659$ をかけます。

$f' (7) = 10 + 6.56986598$

ステップ 13.4.2.2

$10$ と $6.56986598$ をたし算します。

$f' (7) = 16.56986598$

ステップ 13.4.2.3

最終的な答えは $16.56986598$ です。

$16.56986598$

ステップ 13.5

$x = - \frac{π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 13.6

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例