微分積分例

$f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ です。

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.3

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.7.2

$2$ から $3$ を引きます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.8.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.9

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.12.2

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 1.13

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 1.15

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.16

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

ステップ 1.16.2

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.1

分配則を当てはめます。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.2.1

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ と $18$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.2.2

$2$ に $18$ をかけます。

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.2.3

$3$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.2.4.1

$3$ を $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.3

項を並べ替えます。

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.4.1

$x - 3$ に $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.4.2

$12$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.17.5

$18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.7.1

$6$ を $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.7.1.1

$6$ を $12 (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.1.2

$6$ を $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.1.3

$6$ を $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.4

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.7.4.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.4.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.5

$3 {(x - 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.6

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.8

$2 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.17.7.9

$- 6$ から $3$ を引きます。

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 2.2

$f (x) = 5 x - 9$ および $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}})$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}})$

ステップ 2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $5 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.3.5

$5$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.3.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + 0) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.3.7.2

$5$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.4.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.8.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.9.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.10

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.12

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.13.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.13.3

$6$ と $\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.3.1

$6$ を $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.3.1.1

$6$ を $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.1.2

$6$ を $6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.1.3

$6$ を $6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.3.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.2.2

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.3

$- 5 x + 9$ に $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.4

$5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.5

$5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.7

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8

因数分解した形で $\frac{3 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.3.8.1

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.3.8.1.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.1.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.1.5

$3$ を $3$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.2

$3 \cdot 5 {(x - 1)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.3

$3$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 (x - 1) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x + 15 \cdot - 1 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.5

$15$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x - 15 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.6

$15 x$ から $5 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 15 + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.7

$- 15$ と $9$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.8

$2$ を $10 x - 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.3.8.8.1

$2$ を $10 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.8.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) + 2 (- 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.3.8.8.3

$2$ を $2 (5 x) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.1

$6$ と $\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (2 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.2

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{12 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.3

$3$ を $12 (5 x - 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.4.1

$3$ を $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.4.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.4.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.5

$\frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.6

$\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.7

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.7.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 2.14.4.7.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ です。

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 4.1.2

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.3

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.6

公分母の分子をまとめます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.7.2

$2$ から $3$ を引きます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.8.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.9

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.12.2

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

ステップ 4.1.13

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 4.1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 4.1.15

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

ステップ 4.1.16

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

ステップ 4.1.16.2

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.1

分配則を当てはめます。

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.2.1

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ と $18$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.2.2

$2$ に $18$ をかけます。

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.2.3

$3$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.2.4.1

$3$ を $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.3

項を並べ替えます。

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.4.1

$x - 3$ に $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.4.2

$12$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.17.5

$18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.7.1

$6$ を $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.7.1.1

$6$ を $12 (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.1.2

$6$ を $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.1.3

$6$ を $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.4

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.7.4.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.4.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.5

$3 {(x - 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.6

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.8

$2 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.17.7.9

$- 6$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$6 (5 x - 9) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$6 (5 x - 9) = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$6 (5 x - 9) = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

$5 x - 9$ を $1$ で割ります。

$5 x - 9 = \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$5 x - 9 = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$5 x = 9$

ステップ 5.3.3

$5 x = 9$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$5 x = 9$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{9}{5}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$

ステップ 6.2

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$x - 1 = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.3.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{9}{5}, 1$

ステップ 8

$x = \frac{9}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{4 (9 - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.1.2

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.4.2

$9$ から $5$ を引きます。

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{4}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.5

積の法則を $\frac{4}{5}$ に当てはめます。

$\frac{4 \cdot 6}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

ステップ 9.3

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{24}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$24 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.5

$24$ と $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{24 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10

$x = \frac{9}{5}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{9}{5}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{9}{5}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{9}{5}$ で置換えます。

$f (\frac{9}{5}) = 18 ((\frac{9}{5}) - 3) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.2

$- 3$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 3 \cdot 5}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$- 3$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 15}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.4.2

$9$ から $15$ を引きます。

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{- 6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{9}{5}) = 18 (- \frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.6

$18 (- \frac{6}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.6.1

$- 1$ に $18$ をかけます。

$f (\frac{9}{5}) = - 18 (\frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.6.2

$- 18$ と $\frac{6}{5}$ をまとめます。

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 18 \cdot 6}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.6.3

$- 18$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.9

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.10

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.11.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.11.2

$9$ から $5$ を引きます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{4}{5})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.12

積の法則を $\frac{4}{5}$ に当てはめます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.13

$- \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.13.1

$\frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{108}{5}$ をかけます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

ステップ 11.2.13.2

指数を足して $5^{\frac{2}{3}}$ に $5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.13.2.1

$5^{\frac{2}{3}}$ に $5$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.13.2.1.1

$5$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

ステップ 11.2.13.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

ステップ 11.2.13.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

ステップ 11.2.13.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

ステップ 11.2.13.2.4

$2$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 11.2.14

$108$ を $4^{\frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 11.2.15

最終的な答えは $- \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ です。

$y = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 12

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 13.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{4}}$

ステップ 13.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0}$

ステップ 13.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{9}{5}) \cup (\frac{9}{5}, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(- \infty, 1)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{6 (5 (0) - 9)}{{((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 14.2.2.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{6 (0 - 9)}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.1.2

$0$ から $9$ を引きます。

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 14.2.2.2.1

$0$ から $1$ を引きます。

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.2.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 14.2.2.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 14.2.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

ステップ 14.2.2.2.5

指数を求めます。

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

ステップ 14.2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 14.2.2.3.1

$6$ に $- 9$ をかけます。

$f' (0) = \frac{- 54}{- 1}$

ステップ 14.2.2.3.2

$- 54$ を $- 1$ で割ります。

$f' (0) = 54$

ステップ 14.2.2.4

最終的な答えは $54$ です。

$54$

ステップ 14.3

一次導関数 $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(1, \frac{9}{5})$ から $1.4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $1.4$ で置換えます。

$f' (1.4) = \frac{6 (5 (1.4) - 9)}{{((1.4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.3.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 14.3.2.1.1

$5$ に $1.4$ をかけます。

$f' (1.4) = \frac{6 (7 - 9)}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2.1.2

$7$ から $9$ を引きます。

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 14.3.2.2.1

$1.4$ から $1$ を引きます。

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{0.4}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2.2.2

$0.4$ を $\frac{1}{3}$ 乗します。

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{0.73680629}$

ステップ 14.3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 14.3.2.3.1

$6$ に $- 2$ をかけます。

$f' (1.4) = \frac{- 12}{0.73680629}$

ステップ 14.3.2.3.2

$- 12$ を $0.73680629$ で割ります。

$f' (1.4) = - 16.28650569$

ステップ 14.3.2.4

最終的な答えは $- 16.28650569$ です。

$- 16.28650569$

ステップ 14.4

一次導関数 $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(\frac{9}{5}, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{6 (5 (4) - 9)}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1.1

$5$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{6 (20 - 9)}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2.1.2

$20$ から $9$ を引きます。

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2.2

式を簡約します。

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ステップ 14.4.2.2.1

$4$ から $1$ を引きます。

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2.2.2

$6$ に $11$ をかけます。

$f' (4) = \frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2.3

最終的な答えは $\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.5

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 1$ は極大値です。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 14.6

$x = \frac{9}{5}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = \frac{9}{5}$ は極小値です。

$x = \frac{9}{5}$ は極小値です

ステップ 14.7

$f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の極値です。

$x = 1$ は極大値です

$x = \frac{9}{5}$ は極小値です

$x = 1$ は極大値です

$x = \frac{9}{5}$ は極小値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例