微分積分例

$f (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.3.3

${(x^{2} - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.5.2

$x^{2} - 1$ を ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$x^{2} - 1$ を ${(x^{2} - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.5.2.2

$x^{2} - 1$ を $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.5.2.3

$x^{2} - 1$ を $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$x^{2} - 1$ を ${(x^{2} - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.6.2

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.6.3

式を書き換えます。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.7

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.11

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.12

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.16

$- 2$ と $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.18.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$f (x) = - 6 x^{2} - 2$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $- 6 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.5

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + 0) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.7

$- 12 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.5.2

$2$ を ${(x^{2} - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) (2 \cdot ({(x^{2} - 1)}^{2} x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.5.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.5.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

$\frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + 0$

ステップ 2.5.7.2

$- \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

${(x^{2} - 1)}^{2} x$ を ${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

${(x^{2} - 1)}^{2} x$ を ${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.1.2

${(x^{2} - 1)}^{2} x$ を $(- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.1.3

${(x^{2} - 1)}^{2} x$ を ${(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f'' (x) = - \frac{{((x + 1) (x - 1))}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.4

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.5.2

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} \cdot - 12 - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.6.2

$- 12$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 \cdot x^{2} - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.6.3

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 x^{2} + 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.7

$- 12 x^{2}$ と $36 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 12 + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.8

$12$ と $12$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.9

$24$ を $24 x^{2} + 24$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.9.1

$24$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.9.2

$24$ を $24$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24 (1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.2.9.3

$24$ を $24 (x^{2}) + 24 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x \cdot (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.3

$24$ を ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{6}}$

ステップ 2.6.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{6}}$

ステップ 2.6.4.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.5

${(x + 1)}^{2}$ と ${(x + 1)}^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

${(x + 1)}^{2}$ を $24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.1

${(x + 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

ステップ 2.6.5.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

ステップ 2.6.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.6

${(x - 1)}^{2}$ と ${(x - 1)}^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1

${(x - 1)}^{2}$ を $24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

ステップ 2.6.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.2.1

${(x - 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

ステップ 2.6.6.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

ステップ 2.6.6.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{24 x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例