微分積分例

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin^{3} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

ステップ 1.4.2

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \sin^{2} (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.4.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.6

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.2.6.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$f'' (x) = 6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.6.2

$\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.7

$- 1$ を $\sin^{3} (x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.8

$- 1 \sin^{3} (x)$ を $- \sin^{3} (x)$ に書き換えます。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 2.4.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) = 0$

ステップ 4

$3 \cos (x)$ を $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$3 \cos (x)$ を $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

ステップ 4.2

$3 \cos (x)$ を $3 \cos (x)$ で因数分解します。

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1 = 0$

ステップ 4.3

$3 \cos (x)$ を $3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.5

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 7

$2 \sin^{2} (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$2 \sin^{2} (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

ステップ 7.2.2

$2 \sin^{2} (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 \sin^{2} (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

ステップ 7.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

ステップ 7.2.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.2.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 7.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 7.2.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 7.2.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 7.2.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.2.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 7.2.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.2.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.2.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.2.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 7.2.4.7.6.5

指数を求めます。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.7

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.2.7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.2.7.2

$\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ の逆正弦は未定義です。

未定義

ステップ 7.2.8

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.2.8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.2.8.2

$\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ の逆正弦は未定義です。

未定義

ステップ 7.2.9

すべての解をまとめます。

解がありません

ステップ 8

最終解は $3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 9

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$12 \cdot 0^{2} \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.3

$12$ に $0$ をかけます。

$0 \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.8

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

ステップ 10.1.10

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 - 3$

ステップ 10.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6 - 3$

ステップ 10.2.2

$- 6$ から $3$ を引きます。

$- 9$

ステップ 11

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 12

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

ステップ 12.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

ステップ 12.2.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

ステップ 12.2.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 \cdot 1 + 4$

ステップ 12.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 + 4$

ステップ 12.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$2$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = 5 + 4$

ステップ 12.2.2.2

$5$ と $4$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = 9$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$y = 9$

ステップ 13

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$12 \cdot 0^{2} \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.4

$12$ に $0$ をかけます。

$0 \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 (- \sin (\frac{π}{2})) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.7

$0 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 \cdot - 1 - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.7.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 - 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.11

$- 1$ を $3$ 乗します。

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.12

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 6 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.13

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 6 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 14.1.14

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 14.1.15

$- 3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.15.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

ステップ 14.1.15.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 6 + 3$

ステップ 14.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$0$ と $6$ をたし算します。

$6 + 3$

ステップ 14.2.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$9$

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極小値です

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

ステップ 16.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

ステップ 16.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

ステップ 16.2.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

ステップ 16.2.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

ステップ 16.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

ステップ 16.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

ステップ 16.2.1.8

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 16.2.1.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 3 + 4$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 + 4$

ステップ 16.2.2.2

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 17

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$ の極値です。

$(\frac{π}{2}, 9)$ は極大値です

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例