微分積分例

$f (x) = 2 \sin^{2} (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin^{2} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.5

$4 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$4 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 2.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x))$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 6

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 6.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 6.2.5

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 7

最終解は $4 \cos (x) \sin (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

ステップ 8

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$4 \cdot 0^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.3

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 4 \cdot 1^{2}$

ステップ 9.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$0 - 4 \cdot 1$

ステップ 9.1.6

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 9.2

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 10

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1^{2}$

ステップ 11.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

ステップ 11.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 12

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$4 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$4 \cdot 0^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0 - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 - 4 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

ステップ 13.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 4 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

ステップ 13.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 4 {(- 1)}^{2}$

ステップ 13.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$0 - 4 \cdot 1$

ステップ 13.1.9

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 13.2

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 14

$x = \frac{3 π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

ステップ 15.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

ステップ 15.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1)}^{2}$

ステップ 15.2.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 1$

ステップ 15.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 16

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0)$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0)$

ステップ 17.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0)$

ステップ 17.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 4 \sin^{2} (0)$

ステップ 17.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

ステップ 17.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 - 4 \cdot 0$

ステップ 17.1.6

$- 4$ に $0$ をかけます。

$4 + 0$

ステップ 17.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 18

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 19

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 2 \sin^{2} (0)$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 19.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 2 \cdot 0$

ステップ 19.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 19.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 20

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 \cos^{2} (π) - 4 \sin^{2} (π)$

ステップ 21

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$4 {(- \cos (0))}^{2} - 4 \sin^{2} (π)$

ステップ 21.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 4 \sin^{2} (π)$

ステップ 21.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 {(- 1)}^{2} - 4 \sin^{2} (π)$

ステップ 21.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (π)$

ステップ 21.1.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 4 \sin^{2} (π)$

ステップ 21.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$4 - 4 \sin^{2} (0)$

ステップ 21.1.7

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

ステップ 21.1.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 - 4 \cdot 0$

ステップ 21.1.9

$- 4$ に $0$ をかけます。

$4 + 0$

ステップ 21.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 22

$x = π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極小値です

ステップ 23

$x = π$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = 2 \sin^{2} (π)$

ステップ 23.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (π) = 2 \sin^{2} (0)$

ステップ 23.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (π) = 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 23.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (π) = 2 \cdot 0$

ステップ 23.2.4

$2$ に $0$ をかけます。

$f (π) = 0$

ステップ 23.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 24

$f (x) = 2 \sin^{2} (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{2}, 2)$ は極大値です

$(\frac{3 π}{2}, 2)$ は極大値です

$(0, 0)$ は極小値です

$(π, 0)$ は極小値です

ステップ 25

微分積分 例

微分積分例