微分積分例

$f (x) = 2 - {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 - {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [{(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{\frac{2}{7}}$ および $g (x) = 9 + 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 + 7 x$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{7}}] \frac{d}{d x} [9 + 7 x])$

ステップ 1.2.2.2

$n = \frac{2}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{2}{7} u^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 7 x])$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $9 + 7 x$ で置き換えます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 7 x])$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $9 + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [7 x]))$

ステップ 1.2.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [7 x]))$

ステップ 1.2.5

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (0 + 7 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (0 + 7 \cdot 1))$

ステップ 1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} (0 + 7 \cdot 1))$

ステップ 1.2.8

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} (0 + 7 \cdot 1))$

ステップ 1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 7}{7}} (0 + 7 \cdot 1))$

ステップ 1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{2 - 7}{7}} (0 + 7 \cdot 1))$

ステップ 1.2.10.2

$2$ から $7$ を引きます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{\frac{- 5}{7}} (0 + 7 \cdot 1))$

ステップ 1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} (0 + 7 \cdot 1))$

ステップ 1.2.12

$7$ に $1$ をかけます。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} (0 + 7))$

ステップ 1.2.13

$0$ と $7$ をたし算します。

$0 - (\frac{2}{7} {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} \cdot 7)$

ステップ 1.2.14

$\frac{2}{7}$ と ${(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}$ をまとめます。

$0 - (\frac{2 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}}{7} \cdot 7)$

ステップ 1.2.15

$\frac{2 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}}{7}$ と $7$ をまとめます。

$0 - \frac{2 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} \cdot 7}{7}$

ステップ 1.2.16

$7$ に $2$ をかけます。

$0 - \frac{14 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}}{7}$

ステップ 1.2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}$ を分母に移動させます。

$0 - \frac{14}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 1.2.18

$7$ を $14$ で因数分解します。

$0 - \frac{7 \cdot 2}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 1.2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.19.1

$7$ を $7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}$ で因数分解します。

$0 - \frac{7 \cdot 2}{7 ({(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}})}$

ステップ 1.2.19.2

共通因数を約分します。

$0 - \frac{7 \cdot 2}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 1.2.19.3

式を書き換えます。

$0 - \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 1.3

$0$ から $\frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$ を引きます。

$- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$ を ${({(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}})}^{- 1}$

ステップ 2.1.2.2

${({(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7} \cdot - 1}$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{5}{7} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

$\frac{5}{7}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(9 + 7 x)}^{\frac{5 \cdot - 1}{7}}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(9 + 7 x)}^{\frac{- 5}{7}}$

ステップ 2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- \frac{5}{7}}$ および $g (x) = 9 + 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 + 7 x$ とします。

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{7}}) \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.2.2

$n = - \frac{5}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} u^{- \frac{5}{7} - 1} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $9 + 7 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7} - 1} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{\frac{- 5 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.6.2

$- 5$ から $7$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{\frac{- 12}{7}} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{- \frac{12}{7}} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.7.2

${(9 + 7 x)}^{- \frac{12}{7}}$ と $\frac{5}{7}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{{(9 + 7 x)}^{- \frac{12}{7}} \cdot 5}{7} \cdot \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$5$ を ${(9 + 7 x)}^{- \frac{12}{7}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5 \cdot {(9 + 7 x)}^{- \frac{12}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 + 7 x)}^{- \frac{12}{7}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{5}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.7.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{5}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 2.7.4

$\frac{5}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}}$ と $2$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 2}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 + 7 x)$

ステップ 2.7.5

$5$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 + 7 x)$

ステップ 2.8

総和則では、 $9 + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (7 x))$

ステップ 2.9

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (7 x))$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [7 x]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x)$

ステップ 2.11

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.12

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$7$ と $\frac{10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{7 \cdot 10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.12.2

$7$ に $10$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{70}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.12.3

$7$ を $70$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{7 \cdot 10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$7$ を $7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{7 \cdot 10}{7 ({(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}})} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.13.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{7 \cdot 10}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.13.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10}{{(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{10}{{(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}} \cdot 1$

ステップ 2.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

$\frac{10}{{(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{10}{{(9 + 7 x)}^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 2.15.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{10}{{(7 x + 9)}^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $2 - {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}})$

ステップ 4.1.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}]$ です。

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7}}$

ステップ 4.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{2}{7}}$ および $g (x) = 9 + 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 + 7 x$ とします。

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{7}}) \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 4.1.2.2.2

$n = \frac{2}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} u^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 4.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $9 + 7 x$ で置き換えます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} (9 + 7 x))$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $9 + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (7 x))))$

ステップ 4.1.2.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (7 x))))$

ステップ 4.1.2.5

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (0 + 7 \frac{d}{d x} (x))))$

ステップ 4.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1} (0 + 7 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} (0 + 7 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.8

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} (0 + 7 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 7}{7}} (0 + 7 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{2 - 7}{7}} (0 + 7 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.10.2

$2$ から $7$ を引きます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{\frac{- 5}{7}} (0 + 7 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} (0 + 7 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.12

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot ({(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} (0 + 7)))$

ステップ 4.1.2.13

$0$ と $7$ をたし算します。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{7} \cdot {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} \cdot 7)$

ステップ 4.1.2.14

$\frac{2}{7}$ と ${(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}$ をまとめます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}}{7} \cdot 7)$

ステップ 4.1.2.15

$\frac{2 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f' (x) = 0 - \frac{2 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}} \cdot 7}{7}$

ステップ 4.1.2.16

$7$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 0 - \frac{14 {(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}}{7}$

ステップ 4.1.2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 + 7 x)}^{- \frac{5}{7}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 0 - \frac{14}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 4.1.2.18

$7$ を $14$ で因数分解します。

$f' (x) = 0 - \frac{7 \cdot 2}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 4.1.2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.19.1

$7$ を $7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 0 - \frac{7 \cdot 2}{7 ({(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}})}$

ステップ 4.1.2.19.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 0 - \frac{7 \cdot 2}{7 {(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 4.1.2.19.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 4.1.3

$0$ から $\frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$ を引きます。

$f' (x) = - \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$ です。

$- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 5.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{2}{\sqrt[7]{{(9 + 7 x)}^{5}}}$

ステップ 6.2

$\frac{2}{\sqrt[7]{{(9 + 7 x)}^{5}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[7]{{(9 + 7 x)}^{5}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $7$ 乗します。

${\sqrt[7]{{(9 + 7 x)}^{5}}}^{7} = 0^{7}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{{(9 + 7 x)}^{5}}$ を ${(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}$ に書き換えます。

${({(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}})}^{7}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

${(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

${(9 + 7 x)}^{5} = 0^{7}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(9 + 7 x)}^{5} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$9 + 7 x$ が $0$ に等しいとします。

$9 + 7 x = 0$

ステップ 6.3.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$7 x = - 9$

ステップ 6.3.3.2.2

$7 x = - 9$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

$7 x = - 9$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 9}{7}$

ステップ 6.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 9}{7}$

ステップ 6.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 9}{7}$

ステップ 6.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{9}{7}$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{9}{7}$

ステップ 8

$x = - \frac{9}{7}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{10}{{(7 (- \frac{9}{7}) + 9)}^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- \frac{9}{7}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{10}{{(7 (\frac{- 9}{7}) + 9)}^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 9.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{10}{{(7 (\frac{- 9}{7}) + 9)}^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 9.1.3

式を書き換えます。

$\frac{10}{{(- 9 + 9)}^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 9.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{10}{0^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 9.2.2

$0$ を $0^{7}$ に書き換えます。

$\frac{10}{{(0^{7})}^{\frac{12}{7}}}$

ステップ 9.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{10}{0^{7 (\frac{12}{7})}}$

ステップ 9.3

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{10}{0^{7 (\frac{12}{7})}}$

ステップ 9.3.2

式を書き換えます。

$\frac{10}{0^{12}}$

ステップ 9.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{10}{0}$

ステップ 9.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{9}{7}) \cup (- \frac{9}{7}, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$ の区間 $(- \infty, - \frac{9}{7})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(9 + 7 (- 4))}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$7$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(9 - 28)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.2.2.1.2

$9$ から $28$ を引きます。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(- 19)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.2.2.2

最終的な答えは $- \frac{2}{{(- 19)}^{\frac{5}{7}}}$ です。

$- \frac{2}{{(- 19)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.3

一次導関数 $- \frac{2}{{(9 + 7 x)}^{\frac{5}{7}}}$ の区間 $(- \frac{9}{7}, \infty)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - \frac{2}{{(9 + 7 (0))}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = - \frac{2}{{(9 + 0)}^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.3.2.1.2

$9$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = - \frac{2}{9^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.3.2.2

最終的な答えは $- \frac{2}{9^{\frac{5}{7}}}$ です。

$- \frac{2}{9^{\frac{5}{7}}}$

ステップ 10.4

$x = - \frac{9}{7}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - \frac{9}{7}$ は極大値です。

$x = - \frac{9}{7}$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例