微分積分例

$f (x) = 2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3} + 7$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 48)}^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 48)}^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = - 3 x^{2} + 48$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 x^{2} + 48$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 48]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 48]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 3 x^{2} + 48$ で置き換えます。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 48]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $- 3 x^{2} + 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ です。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48])) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48])) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [48])) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.6

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 3 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.7

$2$ に $- 3$ をかけます。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 6 x + 0)) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.8

$- 6 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.9

$- 6$ に $3$ をかけます。

$2 (- 18 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.10

$- 18$ に $2$ をかけます。

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x$ と $0$ をたし算します。

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x$

ステップ 1.4.2

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x$ の因数を並べ替えます。

$- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 36 \frac{d}{d x} (x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2})$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 36 (x \frac{d}{d x} ({(- 3 x^{2} + 48)}^{2}) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = - 3 x^{2} + 48$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 x^{2} + 48$ とします。

$f'' (x) = - 36 (x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 36 (x (2 u \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $- 3 x^{2} + 48$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 36 (x (2 (- 3 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $- 3 x^{2} + 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ です。

$f'' (x) = - 36 (x (2 (- 3 x^{2} + 48) (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48))) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 36 (x (2 (- 3 x^{2} + 48) (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (48))) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 36 (x (2 (- 3 x^{2} + 48) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (48))) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 36 (x (2 (- 3 x^{2} + 48) (- 6 x + \frac{d}{d x} (48))) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.5

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 36 (x (2 (- 3 x^{2} + 48) (- 6 x + 0)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$- 6 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 36 (x (2 (- 3 x^{2} + 48) (- 6 x)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.6.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 36 (x (- 12 (- 3 x^{2} + 48) x) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 36 (x \cdot x (- 12 (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 36 (x \cdot x (- 12 (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 36 (x^{1 + 1} (- 12 (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} (- 12 (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} (- 12 (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \cdot 1)$

ステップ 2.10

${(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} (- 12 (- 3 x^{2} + 48)) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2})$

ステップ 2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} (- 12 (- 3 x^{2}) - 12 \cdot 48) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2})$

ステップ 2.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} (- 12 (- 3 x^{2})) + x^{2} (- 12 \cdot 48) + {(- 3 x^{2} + 48)}^{2})$

ステップ 2.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} (- 12 (- 3 x^{2}))) - 36 (x^{2} (- 12 \cdot 48)) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.4.1

$- 3$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} (36 x^{2})) - 36 (x^{2} (- 12 \cdot 48)) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - 36 (x^{2} x^{2} \cdot 36) - 36 (x^{2} (- 12 \cdot 48)) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 36 (x^{2 + 2} \cdot 36) - 36 (x^{2} (- 12 \cdot 48)) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - 36 (x^{4} \cdot 36) - 36 (x^{2} (- 12 \cdot 48)) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.3

$36$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 36 (36 \cdot x^{4}) - 36 (x^{2} (- 12 \cdot 48)) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.4

$36$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} - 36 (x^{2} (- 12 \cdot 48)) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.5

$- 12$ に $48$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} - 36 (x^{2} \cdot - 576) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.6

$- 576$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} - 36 (- 576 \cdot x^{2}) - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.4.7

$- 576$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 2.11.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1

${(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ を $(- 3 x^{2} + 48) (- 3 x^{2} + 48)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 ((- 3 x^{2} + 48) (- 3 x^{2} + 48))$

ステップ 2.11.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 x^{2} + 48) (- 3 x^{2} + 48)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (- 3 x^{2} (- 3 x^{2} + 48) + 48 (- 3 x^{2} + 48))$

ステップ 2.11.5.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (- 3 x^{2} (- 3 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 48 + 48 (- 3 x^{2} + 48))$

ステップ 2.11.5.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (- 3 x^{2} (- 3 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 48 + 48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (- 3 \cdot (- 3 x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 48 + 48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (- 3 \cdot (- 3 (x^{2} x^{2})) - 3 x^{2} \cdot 48 + 48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (- 3 \cdot (- 3 x^{2 + 2}) - 3 x^{2} \cdot 48 + 48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (- 3 \cdot (- 3 x^{4}) - 3 x^{2} \cdot 48 + 48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (9 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 48 + 48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3.1.4

$48$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (9 x^{4} - 144 x^{2} + 48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3.1.5

$- 3$ に $48$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (9 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} + 48 \cdot 48)$

ステップ 2.11.5.3.1.6

$48$ に $48$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (9 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} + 2304)$

ステップ 2.11.5.3.2

$- 144 x^{2}$ から $144 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (9 x^{4} - 288 x^{2} + 2304)$

ステップ 2.11.5.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 36 (9 x^{4}) - 36 (- 288 x^{2}) - 36 \cdot 2304$

ステップ 2.11.5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.5.1

$9$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 324 x^{4} - 36 (- 288 x^{2}) - 36 \cdot 2304$

ステップ 2.11.5.5.2

$- 288$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 324 x^{4} + 10368 x^{2} - 36 \cdot 2304$

ステップ 2.11.5.5.3

$- 36$ に $2304$ をかけます。

$f'' (x) = - 1296 x^{4} + 20736 x^{2} - 324 x^{4} + 10368 x^{2} - 82944$

ステップ 2.11.6

$- 1296 x^{4}$ から $324 x^{4}$ を引きます。

$f'' (x) = - 1620 x^{4} + 20736 x^{2} + 10368 x^{2} - 82944$

ステップ 2.11.7

$20736 x^{2}$ と $10368 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - 1620 x^{4} + 31104 x^{2} - 82944$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 48)}^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 48)}^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = - 3 x^{2} + 48$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 x^{2} + 48$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 48]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 48]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 3 x^{2} + 48$ で置き換えます。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 48]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $- 3 x^{2} + 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ です。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48])) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48])) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [48])) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.6

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 3 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.7

$2$ に $- 3$ をかけます。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 6 x + 0)) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.8

$- 6 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (3 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.9

$- 6$ に $3$ をかけます。

$2 (- 18 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.10

$- 18$ に $2$ をかけます。

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x + 0$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x$ と $0$ をたし算します。

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x$

ステップ 4.1.4.2

$- 36 {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ です。

$- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.4

${(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

${(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について ${(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- 3$ を $- 3 x^{2} + 48$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1.1

$- 3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

${(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.1.2

$- 3$ を $48$ で因数分解します。

${(- 3 x^{2} - 3 \cdot - 16)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.1.3

$- 3$ を $- 3 (x^{2}) - 3 (- 16)$ で因数分解します。

${(- 3 (x^{2} - 16))}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${(- 3 (x^{2} - 4^{2}))}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

${(- 3 ((x + 4) (x - 4)))}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

${(- 3 (x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.4

積の法則を $- 3 (x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

${(- 3 (x + 4))}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.5

積の法則を $- 3 (x + 4)$ に当てはめます。

${(- 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.3

${(x + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

${(x + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.3.2

$x$ について ${(x + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.4.2.3.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5.4.2.4

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.4.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2.4.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.4.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.4.2.4.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.4.2.5

最終解は ${(- 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 5.5

最終解は $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4, 4$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 4, 4$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 1620 {(0)}^{4} + 31104 {(0)}^{2} - 82944$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 1620 \cdot 0 + 31104 {(0)}^{2} - 82944$

ステップ 9.1.2

$- 1620$ に $0$ をかけます。

$0 + 31104 {(0)}^{2} - 82944$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 31104 \cdot 0 - 82944$

ステップ 9.1.4

$31104$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 82944$

ステップ 9.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 82944$

ステップ 9.2.2

$0$ から $82944$ を引きます。

$- 82944$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 2 {(- 3 {(0)}^{2} + 48)}^{3} + 7$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 2 {(- 3 \cdot 0 + 48)}^{3} + 7$

ステップ 11.2.1.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 2 {(0 + 48)}^{3} + 7$

ステップ 11.2.1.2

$0$ と $48$ をたし算します。

$f (0) = 2 \cdot 48^{3} + 7$

ステップ 11.2.1.3

$48$ を $3$ 乗します。

$f (0) = 2 \cdot 110592 + 7$

ステップ 11.2.1.4

$2$ に $110592$ をかけます。

$f (0) = 221184 + 7$

ステップ 11.2.2

$221184$ と $7$ をたし算します。

$f (0) = 221191$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $221191$ です。

$y = 221191$

ステップ 12

$x = - 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 1620 {(- 4)}^{4} + 31104 {(- 4)}^{2} - 82944$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$- 1620 \cdot 256 + 31104 {(- 4)}^{2} - 82944$

ステップ 13.1.2

$- 1620$ に $256$ をかけます。

$- 414720 + 31104 {(- 4)}^{2} - 82944$

ステップ 13.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 414720 + 31104 \cdot 16 - 82944$

ステップ 13.1.4

$31104$ に $16$ をかけます。

$- 414720 + 497664 - 82944$

ステップ 13.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 414720$ と $497664$ をたし算します。

$82944 - 82944$

ステップ 13.2.2

$82944$ から $82944$ を引きます。

$0$

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ の区間 $(- \infty, - 4)$ から $- 6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = - 36 \cdot - 6 {(- 3 {(- 6)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$- 36$ に $- 6$ をかけます。

$f' (- 6) = 216 {(- 3 {(- 6)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.2.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.2.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = 216 {(- 3 \cdot 36 + 48)}^{2}$

ステップ 14.2.2.2.2

$- 3$ に $36$ をかけます。

$f' (- 6) = 216 {(- 108 + 48)}^{2}$

ステップ 14.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.3.1

$- 108$ と $48$ をたし算します。

$f' (- 6) = 216 {(- 60)}^{2}$

ステップ 14.2.2.3.2

$- 60$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = 216 \cdot 3600$

ステップ 14.2.2.3.3

$216$ に $3600$ をかけます。

$f' (- 6) = 777600$

ステップ 14.2.2.4

最終的な答えは $777600$ です。

$777600$

ステップ 14.3

一次導関数 $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ の区間 $(- 4, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 36 \cdot - 2 {(- 3 {(- 2)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1

$- 36$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = 72 {(- 3 {(- 2)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.3.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 72 {(- 3 \cdot 4 + 48)}^{2}$

ステップ 14.3.2.2.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = 72 {(- 12 + 48)}^{2}$

ステップ 14.3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.3.1

$- 12$ と $48$ をたし算します。

$f' (- 2) = 72 \cdot 36^{2}$

ステップ 14.3.2.3.2

$36$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 72 \cdot 1296$

ステップ 14.3.2.3.3

$72$ に $1296$ をかけます。

$f' (- 2) = 93312$

ステップ 14.3.2.4

最終的な答えは $93312$ です。

$93312$

ステップ 14.4

一次導関数 $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ の区間 $(0, 4)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - 36 \cdot 2 {(- 3 {(2)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$- 36$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = - 72 {(- 3 {(2)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.4.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - 72 {(- 3 \cdot 4 + 48)}^{2}$

ステップ 14.4.2.2.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = - 72 {(- 12 + 48)}^{2}$

ステップ 14.4.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.3.1

$- 12$ と $48$ をたし算します。

$f' (2) = - 72 \cdot 36^{2}$

ステップ 14.4.2.3.2

$36$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - 72 \cdot 1296$

ステップ 14.4.2.3.3

$- 72$ に $1296$ をかけます。

$f' (2) = - 93312$

ステップ 14.4.2.4

最終的な答えは $- 93312$ です。

$- 93312$

ステップ 14.5

一次導関数 $- 36 x {(- 3 x^{2} + 48)}^{2}$ の区間 $(4, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - 36 \cdot 6 {(- 3 {(6)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.1

$- 36$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = - 216 {(- 3 {(6)}^{2} + 48)}^{2}$

ステップ 14.5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.2.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = - 216 {(- 3 \cdot 36 + 48)}^{2}$

ステップ 14.5.2.2.2

$- 3$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = - 216 {(- 108 + 48)}^{2}$

ステップ 14.5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.3.1

$- 108$ と $48$ をたし算します。

$f' (6) = - 216 {(- 60)}^{2}$

ステップ 14.5.2.3.2

$- 60$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = - 216 \cdot 3600$

ステップ 14.5.2.3.3

$- 216$ に $3600$ をかけます。

$f' (6) = - 777600$

ステップ 14.5.2.4

最終的な答えは $- 777600$ です。

$- 777600$

ステップ 14.6

$x = - 4$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 14.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 14.8

$x = 4$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 14.9

$f (x) = 2 {(- 3 x^{2} + 48)}^{3} + 7$ の極値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例