微分積分例

$f (x) = - x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + 8$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$- 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 + 0$

ステップ 1.5.2

$- 3 x^{2} - 12 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 3 x^{2} - 12 x - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 6 x - 12 + 0$

ステップ 2.4.2

$- 6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 x - 12$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$- 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$- 3 x^{2} - 12 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} - 12 x - 12$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} - 12 x - 12$ です。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} - 12 x - 12 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 3$ を $- 3 x^{2} - 12 x - 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 12 x - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (4 x) - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ を $- 12$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 3$ を $- 3 (x^{2}) - 3 (4 x)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} + 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$- 3$ を $- 3 (x^{2} + 4 x) - 3 (4)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

ステップ 5.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 3 (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 5.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- 3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 3 {(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 5.3

$- 3 {(x + 2)}^{2} = 0$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- 3 {(x + 2)}^{2} = 0$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 {(x + 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 {(x + 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 5.3.2.1.2

${(x + 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ を $- 3$ で割ります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 5.4

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 2$

ステップ 8

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 \cdot - 2 - 12$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$12 - 12$

ステップ 9.2

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- 3 x^{2} - 12 x - 12$ の区間 $(- \infty, - 2)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - 3 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 12$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = - 3 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 12$

ステップ 10.2.2.1.2

$- 3$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = - 48 - 12 \cdot - 4 - 12$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 12$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - 48 + 48 - 12$

ステップ 10.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$- 48$ と $48$ をたし算します。

$f' (- 4) = 0 - 12$

ステップ 10.2.2.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f' (- 4) = - 12$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 10.3

一次導関数 $- 3 x^{2} - 12 x - 12$ の区間 $(- 2, \infty)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 12$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = - 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 - 12$

ステップ 10.3.2.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 - 12$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 - 12$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 - 12$

ステップ 10.3.2.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f' (0) = - 12$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 10.4

$x = - 2$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = - x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + 8$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例