微分積分例

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [11 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 x + 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.3.3

$11$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + 11 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 11 + 0$

ステップ 1.4.2

$3 x^{2} - 12 x + 11$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 12 x + 11$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 12 x + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 12$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 12 x + 11 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (11 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (11 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (11 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [11 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.3.3

$11$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11 + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$3 x^{2} - 12 x + 11$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 12 x + 11$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 11$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 12 x + 11 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 12 x + 11 = 0$

ステップ 5.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3

$a = 3$ 、 $b = - 12$ 、および $c = 11$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 11)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.1.2.2

$- 12$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.1.3

$144$ から $132$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 5.4.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.5.1.2.2

$- 12$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.5.1.3

$144$ から $132$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.5.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 5.5.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.2.2

$- 12$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.3

$144$ から $132$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 5.6.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 8

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 12$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 12$

ステップ 9.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{6 + \sqrt{3}}{3} - 12$

ステップ 9.1.1.3

式を書き換えます。

$2 (6 + \sqrt{3}) - 12$

ステップ 9.1.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 6 + 2 \sqrt{3} - 12$

ステップ 9.1.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 + 2 \sqrt{3} - 12$

ステップ 9.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$12$ から $12$ を引きます。

$0 + 2 \sqrt{3}$

ステップ 9.2.2

$0$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$2 \sqrt{3}$

ステップ 10

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{3} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(6 + \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(6 + \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.3

二項定理を利用します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 3 \cdot (36 \sqrt{3}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.3

$3$ に $36$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 3 \cdot (6 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.4

$3$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 18 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.6

$18$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 54 + {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.7

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 54 + \sqrt{3^{3}}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.8

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 54 + \sqrt{27}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.9

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.9.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 54 + \sqrt{9 (3)}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.9.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 54 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.4.10

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 \sqrt{3} + 54 + 3 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.5

$216$ と $54$ をたし算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{270 + 108 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.6

$108 \sqrt{3}$ と $3 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{270 + 111 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.7

$270 + 111 \sqrt{3}$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.7.1

$3$ を $270$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90) + 111 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.7.2

$3$ を $111 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90) + 3 (37 \sqrt{3})}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.7.3

$3$ を $3 (90) + 3 (37 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90 + 37 \sqrt{3})}{27} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.7.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.7.4.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90 + 37 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.7.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90 + 37 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.7.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 6 {(\frac{6 + \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.8

積の法則を $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 6 \frac{{(6 + \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 6 \frac{{(6 + \sqrt{3})}^{2}}{9} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.10

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.10.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + 3 (- 2) (\frac{{(6 + \sqrt{3})}^{2}}{9}) + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.10.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + 3 \cdot (- 2 \frac{{(6 + \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3}) + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.10.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + 3 \cdot (- 2 \frac{{(6 + \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3}) + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.10.4

式を書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 2 \frac{{(6 + \sqrt{3})}^{2}}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.11

$- 2$ と $\frac{{(6 + \sqrt{3})}^{2}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 {(6 + \sqrt{3})}^{2}}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.12

${(6 + \sqrt{3})}^{2}$ を $(6 + \sqrt{3}) (6 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 ((6 + \sqrt{3}) (6 + \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.13

分配法則（FOIL法）を使って $(6 + \sqrt{3}) (6 + \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.13.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (6 (6 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (6 + \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.13.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 + \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.13.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 6 + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.14.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 + 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 6 + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14.1.2

$6$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 + 6 \sqrt{3} + 6 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + \sqrt{9})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14.1.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 3)}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14.2

$36$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (39 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.14.3

$6 \sqrt{3}$ と $6 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (39 + 12 \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.15

$39 + 12 \sqrt{3}$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.15.1

$3$ を $- 2 (39 + 12 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (- 2 (13 + 4 \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.15.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (- 2 (13 + 4 \sqrt{3}))}{3 (1)} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.15.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (- 2 (13 + 4 \sqrt{3}))}{3 \cdot 1} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.15.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (13 + 4 \sqrt{3})}{1} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.15.2.4

$- 2 (13 + 4 \sqrt{3})$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 2 (13 + 4 \sqrt{3}) + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.16

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 2 \cdot 13 - 2 (4 \sqrt{3}) + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.17

$- 2$ に $13$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 26 - 2 (4 \sqrt{3}) + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.18

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 26 - 8 \sqrt{3} + 11 (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 11.2.1.19

$11$ と $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 26 - 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.2

$- 26$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} - 26 \cdot \frac{9}{9} - 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.3

$- 26$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 26 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3} - 26 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.4.2

$- 26$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 + 37 \sqrt{3} - 234}{9} - 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.4.3

$90$ から $234$ を引きます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} - 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.5

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 8 \sqrt{3}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{1} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.5.2

$\frac{- 8 \sqrt{3}}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.5.3

$\frac{- 8 \sqrt{3}}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 11.2.5.4

$\frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 6$

ステップ 11.2.5.5

$\frac{11 (6 + \sqrt{3})}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 6$

ステップ 11.2.5.6

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1}$

ステップ 11.2.5.7

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 11.2.5.8

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.5.9

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 + \sqrt{3}) \cdot 3}{9} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 9 + 11 (6 + \sqrt{3}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.7.1

$9$ に $- 8$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 11 (6 + \sqrt{3}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.7.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + (11 \cdot 6 + 11 \sqrt{3}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.7.3

$11$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + (66 + 11 \sqrt{3}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.7.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 66 \cdot 3 + 11 \sqrt{3} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.7.5

$66$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 198 + 11 \sqrt{3} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.7.6

$3$ に $11$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 198 + 33 \sqrt{3} - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.7.7

$- 6$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 198 + 33 \sqrt{3} - 54}{9}$

ステップ 11.2.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.8.1

$- 144$ と $198$ をたし算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{54 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 33 \sqrt{3} - 54}{9}$

ステップ 11.2.8.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.8.2.1

$54$ から $54$ を引きます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{0 + 37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 33 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 11.2.8.2.2

$0$ と $37 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{37 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 33 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 11.2.8.3

$37 \sqrt{3}$ から $72 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 35 \sqrt{3} + 33 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 11.2.8.4

$- 35 \sqrt{3}$ と $33 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 11.2.8.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{6 + \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 11.2.9

最終的な答えは $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ です。

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 12

$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 12$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 12$

ステップ 13.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{6 - \sqrt{3}}{3} - 12$

ステップ 13.1.1.3

式を書き換えます。

$2 (6 - \sqrt{3}) - 12$

ステップ 13.1.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 6 + 2 (- \sqrt{3}) - 12$

ステップ 13.1.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 + 2 (- \sqrt{3}) - 12$

ステップ 13.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$12 - 2 \sqrt{3} - 12$

ステップ 13.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$12$ から $12$ を引きます。

$0 - 2 \sqrt{3}$

ステップ 13.2.2

$0$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$- 2 \sqrt{3}$

ステップ 14

$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{3} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

積の法則を $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(6 - \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(6 - \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.3

二項定理を利用します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 3 \cdot (36 (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.3

$3$ に $36$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 + 108 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.4

$- 1$ に $108$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.5

$3$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.6

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.8

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.9

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.9.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.9.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.9.5

指数を求めます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 18 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.10

$18$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 + {(- \sqrt{3})}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.11

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 - {\sqrt{3}}^{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.13

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 - \sqrt{3^{3}}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.14

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 - \sqrt{27}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.15

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.15.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 - \sqrt{9 (3)}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.15.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.16

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 - (3 \sqrt{3})}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.4.17

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{216 - 108 \sqrt{3} + 54 - 3 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.5

$216$ と $54$ をたし算します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{270 - 108 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.6

$- 108 \sqrt{3}$ から $3 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{270 - 111 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.7

$270 - 111 \sqrt{3}$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.7.1

$3$ を $270$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90) - 111 \sqrt{3}}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.7.2

$3$ を $- 111 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90) + 3 (- 37 \sqrt{3})}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.7.3

$3$ を $3 (90) + 3 (- 37 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90 - 37 \sqrt{3})}{27} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.7.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.7.4.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90 - 37 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.7.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (90 - 37 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.7.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 6 {(\frac{6 - \sqrt{3}}{3})}^{2} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.8

積の法則を $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 6 \frac{{(6 - \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 6 \frac{{(6 - \sqrt{3})}^{2}}{9} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.10

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.10.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + 3 (- 2) (\frac{{(6 - \sqrt{3})}^{2}}{9}) + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.10.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + 3 \cdot (- 2 \frac{{(6 - \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3}) + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.10.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + 3 \cdot (- 2 \frac{{(6 - \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3}) + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.10.4

式を書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 2 \frac{{(6 - \sqrt{3})}^{2}}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.11

$- 2$ と $\frac{{(6 - \sqrt{3})}^{2}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 {(6 - \sqrt{3})}^{2}}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.12

${(6 - \sqrt{3})}^{2}$ を $(6 - \sqrt{3}) (6 - \sqrt{3})$ に書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 ((6 - \sqrt{3}) (6 - \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.13

分配法則（FOIL法）を使って $(6 - \sqrt{3}) (6 - \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.13.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (6 (6 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (6 - \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.13.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (6 - \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.13.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 6 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.14.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 + 6 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 6 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 6 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.4

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.14.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.4.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.4.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.14.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.14.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 3)}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.1.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (36 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 3)}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.2

$36$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (39 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.14.3

$- 6 \sqrt{3}$ から $6 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (39 - 12 \sqrt{3})}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.15

$39 - 12 \sqrt{3}$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.15.1

$3$ を $- 2 (39 - 12 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (- 2 (13 - 4 \sqrt{3}))}{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.15.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (- 2 (13 - 4 \sqrt{3}))}{3 (1)} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.15.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (- 2 (13 - 4 \sqrt{3}))}{3 \cdot 1} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.15.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 2 (13 - 4 \sqrt{3})}{1} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.15.2.4

$- 2 (13 - 4 \sqrt{3})$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 2 (13 - 4 \sqrt{3}) + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.16

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 2 \cdot 13 - 2 (- 4 \sqrt{3}) + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.17

$- 2$ に $13$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 26 - 2 (- 4 \sqrt{3}) + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.18

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 26 + 8 \sqrt{3} + 11 (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) - 6$

ステップ 15.2.1.19

$11$ と $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 26 + 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.2

$- 26$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} - 26 \cdot \frac{9}{9} + 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.3

$- 26$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 26 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3} - 26 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.4.2

$- 26$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{90 - 37 \sqrt{3} - 234}{9} + 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.4.3

$90$ から $234$ を引きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + 8 \sqrt{3} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.5

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$8 \sqrt{3}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{1} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.5.2

$\frac{8 \sqrt{3}}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.5.3

$\frac{8 \sqrt{3}}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} - 6$

ステップ 15.2.5.4

$\frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 6$

ステップ 15.2.5.5

$\frac{11 (6 - \sqrt{3})}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 6$

ステップ 15.2.5.6

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1}$

ステップ 15.2.5.7

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 15.2.5.8

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.5.9

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{11 (6 - \sqrt{3}) \cdot 3}{9} + \frac{- 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 9 + 11 (6 - \sqrt{3}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.7.1

$9$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 11 (6 - \sqrt{3}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + (11 \cdot 6 + 11 (- \sqrt{3})) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7.3

$11$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + (66 + 11 (- \sqrt{3})) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7.4

$- 1$ に $11$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + (66 - 11 \sqrt{3}) \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7.5

分配則を当てはめます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 66 \cdot 3 - 11 \sqrt{3} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7.6

$66$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 198 - 11 \sqrt{3} \cdot 3 - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7.7

$3$ に $- 11$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 198 - 33 \sqrt{3} - 6 \cdot 9}{9}$

ステップ 15.2.7.8

$- 6$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 144 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 198 - 33 \sqrt{3} - 54}{9}$

ステップ 15.2.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.8.1

$- 144$ と $198$ をたし算します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{54 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} - 33 \sqrt{3} - 54}{9}$

ステップ 15.2.8.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.8.2.1

$54$ から $54$ を引きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{0 - 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} - 33 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 15.2.8.2.2

$0$ から $37 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 37 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} - 33 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 15.2.8.3

$- 37 \sqrt{3}$ と $72 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{35 \sqrt{3} - 33 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 15.2.8.4

$35 \sqrt{3}$ から $33 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\frac{6 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 15.2.9

最終的な答えは $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ です。

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ の極値です。

$(\frac{6 + \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9})$ は極小値です

$(\frac{6 - \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例