微分積分例

$f (x) = 2 x^{4} - 8 x^{2} + 6$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{4} - 8 x^{2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 8 x^{3} - 16 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 x^{3} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 8 x^{3} - 16 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x^{3} - 16 x$ です。

$8 x^{3} - 16 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x^{3} - 16 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x^{3} - 16 x = 0$

ステップ 2.2

$8 x$ を $8 x^{3} - 16 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$8 x$ を $8 x^{3}$ で因数分解します。

$8 x (x^{2}) - 16 x = 0$

ステップ 2.2.2

$8 x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$8 x (x^{2}) + 8 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.3

$8 x$ を $8 x (x^{2}) + 8 x (- 2)$ で因数分解します。

$8 x (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 2.6

最終解は $8 x (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{4} - 8 x^{2} + 6$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 6$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 \cdot 0 - 8 {(0)}^{2} + 6$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$0 - 8 {(0)}^{2} + 6$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 8 \cdot 0 + 6$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 8$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 6$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 6$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$6$

ステップ 4.2

$x = \sqrt{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

$2 {(\sqrt{2})}^{4} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$2 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \cdot 2^{2} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.2

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} \cdot 2^{2} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 2} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$2^{3} - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 8 {(\sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 - 8 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 - 8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6$

ステップ 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 6$

ステップ 4.2.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 6$

ステップ 4.2.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$8 - 8 \cdot 2^{1} + 6$

ステップ 4.2.2.1.4.5

指数を求めます。

$8 - 8 \cdot 2 + 6$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 8$ に $2$ をかけます。

$8 - 16 + 6$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$8$ から $16$ を引きます。

$- 8 + 6$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 8$ と $6$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 4.3

$x = - \sqrt{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- \sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

$2 {(- \sqrt{2})}^{4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$2 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$2 (1 {\sqrt{2}}^{4}) - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$2 {\sqrt{2}}^{4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$2 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \cdot 2^{2} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.5

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.5.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.5.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} \cdot 2^{2} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 2} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$2^{3} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.6

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 8 {(- \sqrt{2})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.7

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$8 - 8 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 6$

ステップ 4.3.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$8 - 8 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 6$

ステップ 4.3.2.1.9

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$8 - 8 {\sqrt{2}}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.10

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 - 8 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 - 8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6$

ステップ 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 6$

ステップ 4.3.2.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 6$

ステップ 4.3.2.1.10.4.2

式を書き換えます。

$8 - 8 \cdot 2^{1} + 6$

ステップ 4.3.2.1.10.5

指数を求めます。

$8 - 8 \cdot 2 + 6$

ステップ 4.3.2.1.11

$- 8$ に $2$ をかけます。

$8 - 16 + 6$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$8$ から $16$ を引きます。

$- 8 + 6$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 8$ と $6$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 6), (\sqrt{2}, - 2), (- \sqrt{2}, - 2)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例