微分積分例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 0$

ステップ 2.4.2

$12 x^{2} - 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 0.53208888, 0.65270364, 2.87938524$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 0.53208888, 0.65270364, 2.87938524$

ステップ 8

$x = - 0.53208888$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 0.53208888)}^{2} - 24 \cdot - 0.53208888$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 0.53208888$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 0.28311858 - 24 \cdot - 0.53208888$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0.28311858$ をかけます。

$3.39742299 - 24 \cdot - 0.53208888$

ステップ 9.1.3

$- 24$ に $- 0.53208888$ をかけます。

$3.39742299 + 12.77013326$

ステップ 9.2

$3.39742299$ と $12.77013326$ をたし算します。

$16.16755626$

ステップ 10

$x = - 0.53208888$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 0.53208888$ は極小値です

ステップ 11

$x = - 0.53208888$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 0.53208888$ で置換えます。

$f (- 0.53208888) = {(- 0.53208888)}^{4} - 4 {(- 0.53208888)}^{3} + 4 (- 0.53208888)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$- 0.53208888$ を $4$ 乗します。

$f (- 0.53208888) = 0.08015613 - 4 {(- 0.53208888)}^{3} + 4 (- 0.53208888)$

ステップ 11.2.1.2

$- 0.53208888$ を $3$ 乗します。

$f (- 0.53208888) = 0.08015613 - 4 \cdot - 0.15064425 + 4 (- 0.53208888)$

ステップ 11.2.1.3

$- 4$ に $- 0.15064425$ をかけます。

$f (- 0.53208888) = 0.08015613 + 0.602577 + 4 (- 0.53208888)$

ステップ 11.2.1.4

$4$ に $- 0.53208888$ をかけます。

$f (- 0.53208888) = 0.08015613 + 0.602577 - 2.12835554$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0.08015613$ と $0.602577$ をたし算します。

$f (- 0.53208888) = 0.68273313 - 2.12835554$

ステップ 11.2.2.2

$0.68273313$ から $2.12835554$ を引きます。

$f (- 0.53208888) = - 1.4456224$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 1.4456224$ です。

$y = - 1.4456224$

ステップ 12

$x = 0.65270364$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0.65270364)}^{2} - 24 \cdot 0.65270364$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$0.65270364$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 0.42602204 - 24 \cdot 0.65270364$

ステップ 13.1.2

$12$ に $0.42602204$ をかけます。

$5.11226457 - 24 \cdot 0.65270364$

ステップ 13.1.3

$- 24$ に $0.65270364$ をかけます。

$5.11226457 - 15.66488747$

ステップ 13.2

$5.11226457$ から $15.66488747$ を引きます。

$- 10.55262289$

ステップ 14

$x = 0.65270364$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0.65270364$ は極大値です

ステップ 15

$x = 0.65270364$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $0.65270364$ で置換えます。

$f (0.65270364) = {(0.65270364)}^{4} - 4 {(0.65270364)}^{3} + 4 (0.65270364)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$0.65270364$ を $4$ 乗します。

$f (0.65270364) = 0.18149478 - 4 {(0.65270364)}^{3} + 4 (0.65270364)$

ステップ 15.2.1.2

$0.65270364$ を $3$ 乗します。

$f (0.65270364) = 0.18149478 - 4 \cdot 0.27806614 + 4 (0.65270364)$

ステップ 15.2.1.3

$- 4$ に $0.27806614$ をかけます。

$f (0.65270364) = 0.18149478 - 1.11226457 + 4 (0.65270364)$

ステップ 15.2.1.4

$4$ に $0.65270364$ をかけます。

$f (0.65270364) = 0.18149478 - 1.11226457 + 2.61081457$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$0.18149478$ から $1.11226457$ を引きます。

$f (0.65270364) = - 0.93076978 + 2.61081457$

ステップ 15.2.2.2

$- 0.93076978$ と $2.61081457$ をたし算します。

$f (0.65270364) = 1.68004479$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $1.68004479$ です。

$y = 1.68004479$

ステップ 16

$x = 2.87938524$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(2.87938524)}^{2} - 24 \cdot 2.87938524$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2.87938524$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 8.29085936 - 24 \cdot 2.87938524$

ステップ 17.1.2

$12$ に $8.29085936$ をかけます。

$99.49031243 - 24 \cdot 2.87938524$

ステップ 17.1.3

$- 24$ に $2.87938524$ をかけます。

$99.49031243 - 69.10524579$

ステップ 17.2

$99.49031243$ から $69.10524579$ を引きます。

$30.38506663$

ステップ 18

$x = 2.87938524$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2.87938524$ は極小値です

ステップ 19

$x = 2.87938524$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $2.87938524$ で置換えます。

$f (2.87938524) = {(2.87938524)}^{4} - 4 {(2.87938524)}^{3} + 4 (2.87938524)$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$2.87938524$ を $4$ 乗します。

$f (2.87938524) = 68.73834908 - 4 {(2.87938524)}^{3} + 4 (2.87938524)$

ステップ 19.2.1.2

$2.87938524$ を $3$ 乗します。

$f (2.87938524) = 68.73834908 - 4 \cdot 23.8725781 + 4 (2.87938524)$

ステップ 19.2.1.3

$- 4$ に $23.8725781$ をかけます。

$f (2.87938524) = 68.73834908 - 95.49031243 + 4 (2.87938524)$

ステップ 19.2.1.4

$4$ に $2.87938524$ をかけます。

$f (2.87938524) = 68.73834908 - 95.49031243 + 11.51754096$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$68.73834908$ から $95.49031243$ を引きます。

$f (2.87938524) = - 26.75196334 + 11.51754096$

ステップ 19.2.2.2

$- 26.75196334$ と $11.51754096$ をたし算します。

$f (2.87938524) = - 15.23442238$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 15.23442238$ です。

$y = - 15.23442238$

ステップ 20

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x$ の極値です。

$(- 0.53208888, - 1.4456224)$ は極小値です

$(0.65270364, 1.68004479)$ は極大値です

$(2.87938524, - 15.23442238)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例