微分積分例

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $6$ をかけます。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

ステップ 1.4.2

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [18 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$18$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $6$ をかけます。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

ステップ 4.1.4.2

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ です。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 x$ を $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) + 18 x^{2} + 18 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$2 x$ を $18 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 18 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

$2 x$ を $18 x$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 2 x (9) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$2 x$ を $2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x)$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$2 x$ を $2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9)$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ で和が $b = 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2} + 9 (x) + 9) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$9$ を $3$ プラス $6$ に書き換える

$2 x (2 x^{2} + (3 + 6) x + 9) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{2} + 3 x + 6 x + 9) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 x ((2 x^{2} + 3 x) + 6 x + 9) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 x (x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) = 0$

ステップ 5.2.2.1.3

最大公約数 $2 x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 x ((2 x + 3) (x + 3)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$2 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$2 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 3 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $2 x + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 5.5.2.2

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 5.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.7

最終解は $2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} + 36 (0) + 18$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 + 36 (0) + 18$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 + 36 (0) + 18$

ステップ 9.1.3

$36$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 18$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 18$

ステップ 9.2.2

$0$ と $18$ をたし算します。

$18$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + 9 \cdot 0 + 1$

ステップ 11.2.1.5

$9$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 11.2.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$x = - \frac{3}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.3

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$12 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$12 \frac{9}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$12 (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 (3) \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.6.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 3 \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.6.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 9 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.7

$3$ に $9$ をかけます。

$27 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.8.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$27 + 36 (\frac{- 3}{2}) + 18$

ステップ 13.1.8.2

$2$ を $36$ で因数分解します。

$27 + 2 (18) \frac{- 3}{2} + 18$

ステップ 13.1.8.3

共通因数を約分します。

$27 + 2 \cdot 18 \frac{- 3}{2} + 18$

ステップ 13.1.8.4

式を書き換えます。

$27 + 18 \cdot - 3 + 18$

ステップ 13.1.9

$18$ に $- 3$ をかけます。

$27 - 54 + 18$

ステップ 13.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$27$ から $54$ を引きます。

$- 27 + 18$

ステップ 13.2.2

$- 27$ と $18$ をたし算します。

$- 9$

ステップ 14

$x = - \frac{3}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{3}{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \frac{3}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.4

$3$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.6.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.7

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.8

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.9

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.10.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.10.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 (3) (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.10.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.10.4

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.10.5

式を書き換えます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 3 (\frac{- 27}{4}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.11

$3$ と $\frac{- 27}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{3 \cdot - 27}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.12

$3$ に $- 27$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.14

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.14.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 1$

ステップ 15.2.1.14.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

ステップ 15.2.1.15

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

ステップ 15.2.1.16

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 1$

ステップ 15.2.1.17

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2^{2}}) + 1$

ステップ 15.2.1.18

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

ステップ 15.2.1.19

$9 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.19.1

$9$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

ステップ 15.2.1.19.2

$9$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{81}{4} + 1$

ステップ 15.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{- 81 + 81}{4}$

ステップ 15.2.2.2

$- 81$ と $81$ をたし算します。

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

ステップ 15.2.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

ステップ 15.2.3.2

$\frac{1}{1}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

ステップ 15.2.3.3

$\frac{1}{1}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

ステップ 15.2.3.4

$\frac{0}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 15.2.3.5

$\frac{0}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

ステップ 15.2.3.6

$4$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{16}$

ステップ 15.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0 \cdot 4}{16}$

ステップ 15.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$0$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0}{16}$

ステップ 15.2.5.2

$16$ と $81$ をたし算します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97 + 0}{16}$

ステップ 15.2.5.3

$97$ と $0$ をたし算します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97}{16}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{97}{16}$ です。

$y = \frac{97}{16}$

ステップ 16

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 3)}^{2} + 36 (- 3) + 18$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 9 + 36 (- 3) + 18$

ステップ 17.1.2

$12$ に $9$ をかけます。

$108 + 36 (- 3) + 18$

ステップ 17.1.3

$36$ に $- 3$ をかけます。

$108 - 108 + 18$

ステップ 17.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$108$ から $108$ を引きます。

$0 + 18$

ステップ 17.2.2

$0$ と $18$ をたし算します。

$18$

ステップ 18

$x = - 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 3$ は極小値です

ステップ 19

$x = - 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = 81 + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = 81 + 6 \cdot - 27 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.3

$6$ に $- 27$ をかけます。

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 \cdot 9 + 1$

ステップ 19.2.1.5

$9$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = 81 - 162 + 81 + 1$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$81$ から $162$ を引きます。

$f (- 3) = - 81 + 81 + 1$

ステップ 19.2.2.2

$- 81$ と $81$ をたし算します。

$f (- 3) = 0 + 1$

ステップ 19.2.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (- 3) = 1$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 20

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ の極値です。

$(0, 1)$ は極小値です

$(- \frac{3}{2}, \frac{97}{16})$ は極大値です

$(- 3, 1)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例