微分積分例

$f (x) = 5 x^{2} - 2 x^{2} - 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $5 x^{2} - 2 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$10 x - 4 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$10 x - 4 x + 0$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$10 x$ から $4 x$ を引きます。

$6 x + 0$

ステップ 1.5.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$6 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 \cdot 1$

ステップ 2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $5 x^{2} - 2 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$10 x - 4 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$10 x - 4 x + 0$

ステップ 4.1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$10 x$ から $4 x$ を引きます。

$6 x + 0$

ステップ 4.1.5.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x$ です。

$6 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x = 0$

ステップ 5.2

$6 x = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$6 x = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{6}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6$

ステップ 9

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 10

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 5 {(0)}^{2} - 2 {(0)}^{2} - 2$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 5 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} - 2$

ステップ 10.2.1.2

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} - 2$

ステップ 10.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 2$

ステップ 10.2.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 2$

ステップ 10.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 2$

ステップ 10.2.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f (0) = - 2$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 11

$f (x) = 5 x^{2} - 2 x^{2} - 2$ の極値です。

$(0, - 2)$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例