微分積分例

$f (x) = 7 e^{3 x} + 3 e^{3} x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $7 e^{3 x} + 3 e^{3} x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [7 e^{3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 e^{3 x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$7 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$7 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$7 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.2.7

$3$ に $7$ をかけます。

$21 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{3} x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$3 e^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{3} x$ の微分係数は $3 e^{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$21 e^{3 x} + 3 e^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 e^{3 x} + 3 e^{3} \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$21 e^{3 x} + 3 e^{3}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$3 e^{3} + 21 e^{3 x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $3 e^{3} + 21 e^{3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{3}] + \frac{d}{d x} [21 e^{3 x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3}) + \frac{d}{d x} (21 e^{3 x})$

ステップ 2.1.2

$3 e^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 e^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (21 e^{3 x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [21 e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $21 e^{3 x}$ の微分係数は $21 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$f'' (x) = 0 + 21 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$f'' (x) = 0 + 21 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x))$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 21 (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x))$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 + 21 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

ステップ 2.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 + 21 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 21 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

ステップ 2.2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 21 (e^{3 x} \cdot 3)$

ステップ 2.2.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 0 + 21 (3 \cdot e^{3 x})$

ステップ 2.2.7

$3$ に $21$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 63 e^{3 x}$

ステップ 2.3

$0$ と $63 e^{3 x}$ をたし算します。

$f'' (x) = 63 e^{3 x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 e^{3} + 21 e^{3 x} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例