微分積分例

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sin (2 x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

ステップ 1.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

ステップ 1.3.7

$2$ に $8$ をかけます。

$16 x + 16 \cos (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $16 x + 16 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.3

$16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 \cos (2 x)$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 2.3.7

$- 2$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

ステップ 4

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 0.51493326$

ステップ 5

$x = - 0.51493326$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

ステップ 6

$2$ に $- 0.51493326$ をかけます。

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

ステップ 7

$x = - 0.51493326$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 0.51493326$ は極小値です

ステップ 8

$x = - 0.51493326$ のときy値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 0.51493326$ で置換えます。

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$- 0.51493326$ を $2$ 乗します。

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

ステップ 8.2.1.2

$8$ に $0.26515626$ をかけます。

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

ステップ 8.2.1.3

$2$ に $- 0.51493326$ をかけます。

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

ステップ 8.2.2

$2.12125013$ と $8 \sin (- 1.02986652)$ をたし算します。

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 4.73659201$ です。

$y = - 4.73659201$

ステップ 9

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ の極値です。

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ は極小値です

ステップ 10

微分積分 例

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