微分積分例

$f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 e^{- 8 x}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 8 x$ とします。

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 8 x$ で置き換えます。

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.6

$- 8$ を $e^{- 8 x}$ の左に移動させます。

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2.7

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 e^{- 5 x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 5 x$ とします。

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 1.3.3

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$- 5$ に $1$ をかけます。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

ステップ 1.3.6

$- 5$ を $e^{- 5 x}$ の左に移動させます。

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

ステップ 1.3.7

$- 5$ に $5$ をかけます。

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (64 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 e^{- 8 x}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ です。

$f'' (x) = 64 \frac{d}{d x} (e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 8 x$ とします。

$f'' (x) = 64 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 64 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 8 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.6

$- 8$ を $e^{- 8 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 64 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.2.7

$- 8$ に $64$ をかけます。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 25 e^{- 5 x}$ の微分係数は $- 25 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 5 x$ とします。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

ステップ 2.3.3

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

ステップ 2.3.6

$- 5$ を $e^{- 5 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

ステップ 2.3.7

$- 5$ に $- 25$ をかけます。

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + 125 e^{- 5 x}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 125 e^{- 5 x} - 512 e^{- 8 x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 e^{- 8 x}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 8 x$ とします。

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 8 x$ で置き換えます。

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.6

$- 8$ を $e^{- 8 x}$ の左に移動させます。

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.2.7

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 e^{- 5 x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

ステップ 4.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 5 x$ とします。

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 4.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 4.1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 4.1.3.3

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

ステップ 4.1.3.5

$- 5$ に $1$ をかけます。

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

ステップ 4.1.3.6

$- 5$ を $e^{- 5 x}$ の左に移動させます。

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

ステップ 4.1.3.7

$- 5$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ です。

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

ステップ 5.2

両辺に $- 25 e^{- 5 x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$64 e^{- 8 x} = 25 e^{- 5 x}$

ステップ 5.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (64 e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

ステップ 5.4

左辺を展開します。

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ステップ 5.4.1

$\ln (64 e^{- 8 x})$ を $\ln (64) + \ln (e^{- 8 x})$ に書き換えます。

$\ln (64) + \ln (e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

ステップ 5.4.2

$- 8 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 8 x})$ を展開します。

$\ln (64) - 8 x \ln (e) = \ln (25 e^{- 5 x})$

ステップ 5.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (64) - 8 x \cdot 1 = \ln (25 e^{- 5 x})$

ステップ 5.4.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\ln (64) - 8 x = \ln (25 e^{- 5 x})$

ステップ 5.5

右辺を展開します。

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ステップ 5.5.1

$\ln (25 e^{- 5 x})$ を $\ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$ に書き換えます。

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$

ステップ 5.5.2

$- 5 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 5 x})$ を展開します。

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \ln (e)$

ステップ 5.5.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \cdot 1$

ステップ 5.5.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x$

ステップ 5.6

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (64) - \ln (25) = 8 x - 5 x$

ステップ 5.7

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{64}{25}) = 8 x - 5 x$

ステップ 5.8

$8 x$ から $5 x$ を引きます。

$\ln (\frac{64}{25}) = 3 x$

ステップ 5.9

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$3 x = \ln (\frac{64}{25})$

ステップ 5.10

$3 x = \ln (\frac{64}{25})$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.10.1

$3 x = \ln (\frac{64}{25})$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

ステップ 5.10.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.10.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.10.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

ステップ 5.10.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

ステップ 8

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$125 e^{- 5 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9

各項を簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ に書き換えます。

$125 e^{- 5 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ を簡約します。

$125 e^{- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.3

対数の中の $- 5$ を移動させて $- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

$125 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$125 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.5

${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.5.2

$\frac{1}{3}$ と $- 5$ をまとめます。

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$125 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.6

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$125 {(\frac{25}{64})}^{\frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.7

積の法則を $\frac{25}{64}$ に当てはめます。

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{64^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.8.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.3.1

共通因数を約分します。

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.8.3.2

式を書き換えます。

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.8.4

$4$ を $5$ 乗します。

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.9.1

$125$ と $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ をまとめます。

$\frac{125 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.2

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

$\frac{5^{3} \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5^{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.4

${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.9.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5^{3} \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.4.2

$2 (\frac{5}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.9.4.2.1

$2$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.4.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5^{3 + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.6

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{5^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.7

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.9.9.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{5^{\frac{9 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.9.9.2

$9$ と $10$ をたし算します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

ステップ 9.10

$\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ に書き換えます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))}$

ステップ 9.11

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ を簡約します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 9.12

対数の中の $- 8$ を移動させて $- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8})}$

ステップ 9.13

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$

ステップ 9.14

${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.14.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 8}$

ステップ 9.14.2

$\frac{1}{3}$ と $- 8$ をまとめます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 8}{3}}$

ステップ 9.14.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{8}{3}}$

ステップ 9.15

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{25}{64})}^{\frac{8}{3}}$

ステップ 9.16

積の法則を $\frac{25}{64}$ に当てはめます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{64^{\frac{8}{3}}}$

ステップ 9.17

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.17.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

ステップ 9.17.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

ステップ 9.17.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.17.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

ステップ 9.17.3.2

式を書き換えます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}}$

ステップ 9.17.4

$4$ を $8$ 乗します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

ステップ 9.18

$512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.18.1

$512$ を $- 512$ で因数分解します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 (- 1) \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

ステップ 9.18.2

$512$ を $65536$ で因数分解します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

ステップ 9.18.3

共通因数を約分します。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

ステップ 9.18.4

式を書き換えます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

ステップ 9.19

$- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ を $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ に書き換えます。

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

ステップ 10

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

Simplify $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ to substitute in $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{64}{25})$

ステップ 11.1.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ を簡約します。

$y = \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 11.1.3

積の法則を $\frac{64}{25}$ に当てはめます。

$y = \ln (\frac{64^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 11.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.4.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$y = \ln (\frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 11.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 11.1.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 11.1.4.3.2

式を書き換えます。

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 11.1.4.4

指数を求めます。

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 11.2

式の変数 $x$ を $\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ で置換えます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1

対数の中の $- 8$ を移動させて $- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ を簡約します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.3

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.4

積の法則を $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ に当てはめます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.5

${(25^{\frac{1}{3}})}^{8}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.5.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.6

$4$ を $8$ 乗します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.7

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.7.1

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 (- 1) (\frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.7.2

$8$ を $65536$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.7.3

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.7.4

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.8

$- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ を $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ に書き換えます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 11.3.1.9

対数の中の $- 5$ を移動させて $- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ を簡約します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5})}$

ステップ 11.3.1.10

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5}$

ステップ 11.3.1.11

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{5}$

ステップ 11.3.1.12

積の法則を $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ に当てはめます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{5}}{4^{5}})$

ステップ 11.3.1.13

${(25^{\frac{1}{3}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.13.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{4^{5}})$

ステップ 11.3.1.13.2

$\frac{1}{3}$ と $5$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}})$

ステップ 11.3.1.14

$4$ を $5$ 乗します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024})$

ステップ 11.3.1.15

$5 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.15.1

$5$ と $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.3

${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.15.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.3.2

$2 (\frac{5}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.15.3.2.1

$2$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.3.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{1 + \frac{10}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3 + 10}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.1.15.7

$3$ と $10$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

ステップ 11.3.2

最終的な答えは $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$ です。

$y = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

ステップ 12

$f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ の極値です。

$(\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}, - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例