微分積分例

$f (x) = 6 \csc (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \csc (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$6 (- \csc (x) \cot (x))$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 (\csc (x) \cot (x))$

ステップ 1.3.2

$- 6 \csc (x) \cot (x)$ の因数を並べ替えます。

$- 6 \cot (x) \csc (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 \cot (x) \csc (x)$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ です。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

ステップ 2.4

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

ステップ 2.5

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

ステップ 2.8

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 2.9

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

ステップ 2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

ステップ 2.11

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

ステップ 2.12

簡約します。

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ステップ 2.12.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

ステップ 2.12.2

項をまとめます。

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ステップ 2.12.2.1

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

ステップ 2.12.2.2

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = 6 \csc (x) \cot^{2} (x) + 6 \csc^{3} (x)$

ステップ 2.12.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 6 \cot^{2} (x) \csc (x) + 6 \csc^{3} (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

ステップ 5

$\cot (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cot (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cot (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 6

$\csc (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\csc (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (x) = 0$

ステップ 6.2

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

最終解は $- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 8

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.4

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.6

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 6 \cdot 1^{3}$

ステップ 9.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$0 + 6 \cdot 1$

ステップ 9.1.8

$6$ に $1$ をかけます。

$0 + 6$

ステップ 9.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$6$

ステップ 10

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 6 \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1$

ステップ 11.2.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 6$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$y = 6$

ステップ 12

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余割は第四象限で負であるため、式を負にします。

$6 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.2

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$6 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.5

$6$ に $0$ をかけます。

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.7

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 (- 1 \cdot 1) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.8

$0 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 13.1.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 \cdot - 1 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.8.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.9

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 6 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

ステップ 13.1.10

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

ステップ 13.1.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 6 {(- 1)}^{3}$

ステップ 13.1.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$0 + 6 \cdot - 1$

ステップ 13.1.13

$6$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 6$

ステップ 13.2

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6$

ステップ 14

$x = \frac{3 π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

ステップ 15.2.2

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.2.3

$6 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \cdot - 1$

ステップ 15.2.3.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 6$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 16

$f (x) = 6 \csc (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{2}, 6)$ は極小値です

$(\frac{3 π}{2}, - 6)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例