微分積分例

$f (x) = 400000000 x^{- 1} + 100 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $400000000 x^{- 1} + 100 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [400000000 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [100 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [400000000 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [400000000 x^{- 1}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$400000000$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $400000000 x^{- 1}$ の微分係数は $400000000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$400000000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$400000000 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $400000000$ をかけます。

$- 400000000 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [100 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $100 x$ の微分係数は $100 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 400000000 x^{- 2} + 100 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 400000000 x^{- 2} + 100 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$100$ に $1$ をかけます。

$- 400000000 x^{- 2} + 100$

ステップ 1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 400000000 \frac{1}{x^{2}} + 100$

ステップ 1.4.2

$- 400000000$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 400000000}{x^{2}} + 100$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{400000000}{x^{2}} + 100$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{400000000}{x^{2}} + 100$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{400000000}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [100]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{400000000}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{400000000}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 400000000$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{400000000}{x^{2}}$ の微分係数は $- 400000000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 400000000 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 400000000 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - 400000000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 400000000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 400000000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 400000000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 400000000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 400000000 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 400000000 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 400000000 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 400000000 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - 400000000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.10

$- 2$ に $- 400000000$ をかけます。

$f'' (x) = 800000000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.3

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 800000000 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 800000000 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$800000000$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{800000000}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

$\frac{800000000}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{800000000}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{400000000}{x^{2}} + 100 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $400000000 x^{- 1} + 100 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [400000000 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [100 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [400000000 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [400000000 x^{- 1}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$400000000$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $400000000 x^{- 1}$ の微分係数は $400000000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$400000000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$400000000 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ に $400000000$ をかけます。

$- 400000000 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [100 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [100 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $100 x$ の微分係数は $100 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 400000000 x^{- 2} + 100 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 400000000 x^{- 2} + 100 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$100$ に $1$ をかけます。

$- 400000000 x^{- 2} + 100$

ステップ 4.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 400000000 \frac{1}{x^{2}} + 100$

ステップ 4.1.4.2

$- 400000000$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 400000000}{x^{2}} + 100$

ステップ 4.1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{400000000}{x^{2}} + 100$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{400000000}{x^{2}} + 100$ です。

$- \frac{400000000}{x^{2}} + 100$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{400000000}{x^{2}} + 100 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{400000000}{x^{2}} + 100 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $100$ を引きます。

$- \frac{400000000}{x^{2}} = - 100$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5.4

$- \frac{400000000}{x^{2}} = - 100$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- \frac{400000000}{x^{2}} = - 100$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{400000000}{x^{2}} x^{2} = - 100 x^{2}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- \frac{400000000}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 400000000}{x^{2}} x^{2} = - 100 x^{2}$

ステップ 5.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 400000000}{x^{2}} x^{2} = - 100 x^{2}$

ステップ 5.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 400000000 = - 100 x^{2}$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式を $- 100 x^{2} = - 400000000$ として書き換えます。

$- 100 x^{2} = - 400000000$

ステップ 5.5.2

$- 100 x^{2} = - 400000000$ の各項を $- 100$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- 100 x^{2} = - 400000000$ の各項を $- 100$ で割ります。

$\frac{- 100 x^{2}}{- 100} = \frac{- 400000000}{- 100}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$- 100$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 100 x^{2}}{- 100} = \frac{- 400000000}{- 100}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 400000000}{- 100}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

$- 400000000$ を $- 100$ で割ります。

$x^{2} = 4000000$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4000000}$

ステップ 5.5.4

$\pm \sqrt{4000000}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$4000000$ を $2000^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2000^{2}}$

ステップ 5.5.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2000$

ステップ 5.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2000$

ステップ 5.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2000$

ステップ 5.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2000, - 2000$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{400000000}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2000, - 2000$

ステップ 8

$x = 2000$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{800000000}{{(2000)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2000$ を $3$ 乗します。

$\frac{800000000}{8000000000}$

ステップ 9.2

$800000000$ と $8000000000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$800000000$ を $800000000$ で因数分解します。

$\frac{800000000 (1)}{8000000000}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$800000000$ を $8000000000$ で因数分解します。

$\frac{800000000 \cdot 1}{800000000 \cdot 10}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{800000000 \cdot 1}{800000000 \cdot 10}$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{10}$

ステップ 10

$x = 2000$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2000$ は極小値です

ステップ 11

$x = 2000$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $2000$ で置換えます。

$f (2000) = 400000000 {(2000)}^{- 1} + 100 (2000)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (2000) = 400000000 (\frac{1}{2000}) + 100 (2000)$

ステップ 11.2.1.2

$2000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

$2000$ を $400000000$ で因数分解します。

$f (2000) = 2000 (200000) (\frac{1}{2000}) + 100 (2000)$

ステップ 11.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (2000) = 2000 \cdot (200000 (\frac{1}{2000})) + 100 (2000)$

ステップ 11.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (2000) = 200000 + 100 (2000)$

ステップ 11.2.1.3

$100$ に $2000$ をかけます。

$f (2000) = 200000 + 200000$

ステップ 11.2.2

$200000$ と $200000$ をたし算します。

$f (2000) = 400000$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $400000$ です。

$y = 400000$

ステップ 12

$x = - 2000$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{800000000}{{(- 2000)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 2000$ を $3$ 乗します。

$\frac{800000000}{- 8000000000}$

ステップ 13.2

$800000000$ と $- 8000000000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$800000000$ を $800000000$ で因数分解します。

$\frac{800000000 (1)}{- 8000000000}$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.2.1

$800000000$ を $- 8000000000$ で因数分解します。

$\frac{800000000 \cdot 1}{800000000 \cdot - 10}$

ステップ 13.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{800000000 \cdot 1}{800000000 \cdot - 10}$

ステップ 13.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 10}$

ステップ 13.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{10}$

ステップ 14

$x = - 2000$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2000$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 2000$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 2000$ で置換えます。

$f (- 2000) = 400000000 {(- 2000)}^{- 1} + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 2000) = 400000000 (\frac{1}{- 2000}) + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2.1.2

$2000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$2000$ を $400000000$ で因数分解します。

$f (- 2000) = 2000 (200000) (\frac{1}{- 2000}) + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2.1.2.2

$2000$ を $- 2000$ で因数分解します。

$f (- 2000) = 2000 \cdot (200000 (\frac{1}{2000 \cdot - 1})) + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (- 2000) = 2000 \cdot (200000 (\frac{1}{2000 \cdot - 1})) + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (- 2000) = 200000 (\frac{1}{- 1}) + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2.1.3

$200000$ と $\frac{1}{- 1}$ をまとめます。

$f (- 2000) = \frac{200000}{- 1} + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2.1.4

$200000$ を $- 1$ で割ります。

$f (- 2000) = - 200000 + 100 (- 2000)$

ステップ 15.2.1.5

$100$ に $- 2000$ をかけます。

$f (- 2000) = - 200000 - 200000$

ステップ 15.2.2

$- 200000$ から $200000$ を引きます。

$f (- 2000) = - 400000$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 400000$ です。

$y = - 400000$

ステップ 16

$f (x) = 400000000 x^{- 1} + 100 x$ の極値です。

$(2000, 400000)$ は極小値です

$(- 2000, - 400000)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例