微分積分例

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 1.2.3

$4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 17 \arctan (x)$ の微分係数は $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ です。

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$- 17$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{4}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4.1.2

$- \frac{17}{1 + x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 1.4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (1 + x^{2})$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.4.1.3.1

$\frac{4}{x}$ に $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 1.4.1.3.2

$\frac{17}{1 + x^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

ステップ 1.4.1.3.3

$(1 + x^{2}) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 1.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ および $g (x) = x (1 + x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ です。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$- 17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 17 x$ の微分係数は $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.4

$- 17$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 (1 + x^{2})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.6

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.2.10

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.10

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$1 + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.10.2

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

積の法則を $x (1 + x^{2})$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.1.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.3.1

$- 17$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.3.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.4

$- 17$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.6

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.3.6.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.6.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.3.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.3.6.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.4.1

$- 17$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.4.2

$- (4 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.4.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.4.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.4.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.6.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.6.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.3

$17$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.4

$17$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.5

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.6

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.8

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1.6.8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.8.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.9

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.6.10

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.1.7

$- 12 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.2

$- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.2.1

$- 17 x$ と $17 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.2.2

$8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.3

$8 x^{2}$ から $16 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.4

$- 17 x^{3}$ と $51 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.5.5

$8 x^{4}$ から $12 x^{4}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.6

$2$ を $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.6.1

$2$ を $- 4 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.6.2

$2$ を $34 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.6.3

$2$ を $- 8 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.6.4

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.6.5

$2$ を $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.6.6

$2$ を $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.6.7

$2$ を $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.7

$- 1$ を $- 2 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.8

$- 1$ を $17 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.9

$- 1$ を $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.10

$- 1$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.11

$- 1$ を $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.12

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.13

$- 1$ を $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.14

$- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ を $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11.15

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 17 \arctan (x)$ の微分係数は $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ です。

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 4.1.3.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

$- 17$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1.1

$\frac{4}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.1.4.1.2

$- \frac{17}{1 + x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 4.1.4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (1 + x^{2})$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1.3.1

$\frac{4}{x}$ に $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 4.1.4.1.3.2

$\frac{17}{1 + x^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

ステップ 4.1.4.1.3.3

$(1 + x^{2}) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 4.1.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 4.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ です。

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

ステップ 5.3.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

ステップ 5.3.2

群による因数分解。

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ステップ 5.3.2.1

項を並べ替えます。

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

ステップ 5.3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ で和が $b = - 17$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.3.2.2.1

$- 17$ を $- 17 x$ で因数分解します。

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

ステップ 5.3.2.2.2

$- 17$ を $- 1$ プラス $- 16$ に書き換える

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

ステップ 5.3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

ステップ 5.3.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.3.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

ステップ 5.3.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

ステップ 5.3.2.4

最大公約数 $4 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

ステップ 5.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 5.3.4

$4 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.3.4.1

$4 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 1 = 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ について $4 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 x = 1$

ステップ 5.3.4.2.2

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.2.1

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.3.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 5.3.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.3.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.3.6

最終解は $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{4}, 4$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (1 + x^{2}) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.2.3

$1 + x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.2.3.1

$1 + x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x^{2} = 0$

ステップ 6.2.3.2

$x$ について $1 + x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 6.2.3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 6.2.3.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 6.2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 6.2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 6.2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 6.2.4

最終解は $x (1 + x^{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, i, - i$

ステップ 6.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{4}, 4$

ステップ 8

$x = \frac{1}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.3

$4$ を $4$ 乗します。

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

$2$ を $256$ で因数分解します。

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.5

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.7

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.8

$- 17$ と $\frac{1}{64}$ をまとめます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.10

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.11

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.12

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.13

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.13.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.13.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.13.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.14

$- \frac{17}{64}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.15

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $128$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.15.1

$\frac{17}{64}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.15.2

$64$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.16

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.17

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.17.1

$- 17$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.17.2

$1$ から $34$ を引きます。

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.18

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{32}{32}$ を掛けます。

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.19

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $128$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.19.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{32}{32}$ をかけます。

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.19.2

$4$ に $32$ をかけます。

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.20

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.21

$- 33$ と $32$ をたし算します。

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.22

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{128}{128}$ を掛けます。

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.23

$2$ と $\frac{128}{128}$ をまとめます。

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.24

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.25

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.25.1

$2$ に $128$ をかけます。

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.1.25.2

$- 1$ と $256$ をたし算します。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

ステップ 9.2.2

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.4

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

ステップ 9.2.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

ステップ 9.2.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

ステップ 9.2.7

$16$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

ステップ 9.2.8

積の法則を $\frac{17}{16}$ に当てはめます。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

ステップ 9.2.9

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

ステップ 9.2.10

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

ステップ 9.2.11

$17$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

ステップ 9.2.12

$16$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

ステップ 9.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$2$ と $\frac{255}{128}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{16}$ に $\frac{289}{256}$ をかけます。

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

ステップ 9.3.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$2$ に $255$ をかけます。

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

ステップ 9.3.3.2

$16$ に $256$ をかけます。

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

ステップ 9.3.4

$510$ と $128$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.1

$2$ を $510$ で因数分解します。

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

ステップ 9.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.2.1

$2$ を $128$ で因数分解します。

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

ステップ 9.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

ステップ 9.3.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

ステップ 9.5

$17$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$17$ を $255$ で因数分解します。

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

ステップ 9.5.2

$17$ を $289$ で因数分解します。

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

ステップ 9.5.3

共通因数を約分します。

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

ステップ 9.5.4

式を書き換えます。

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

ステップ 9.6

$64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

$64$ を $4096$ で因数分解します。

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

ステップ 9.6.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

ステップ 9.6.3

式を書き換えます。

$- (15 (\frac{64}{17}))$

ステップ 9.7

$15$ と $\frac{64}{17}$ をまとめます。

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

ステップ 9.8

$15$ に $64$ をかけます。

$- \frac{960}{17}$

ステップ 10

$x = \frac{1}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{4}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (\frac{1}{4})$ を簡約します。

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

ステップ 11.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

ステップ 11.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

ステップ 11.2.1.4

$4$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

ステップ 11.2.1.5

$\arctan (\frac{1}{4})$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

ステップ 11.2.1.6

$- 17$ に $0.24497866$ をかけます。

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

ステップ 11.2.2

$\ln (\frac{1}{256})$ から $4.16463727$ を引きます。

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 9.70981471$ です。

$y = - 9.70981471$

ステップ 12

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

指数を足して $4$ に ${(4)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$4$ に ${(4)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 13.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 13.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$4$ を $4$ 乗します。

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2.2

$2$ に $256$ をかけます。

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2.3

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2.4

$- 17$ に $64$ をかけます。

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2.5

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2.6

$512$ から $1088$ を引きます。

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2.7

$- 576$ と $64$ をたし算します。

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.2.8

$- 512$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

ステップ 13.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

ステップ 13.3.2

$1$ と $16$ をたし算します。

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

ステップ 13.3.3

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

ステップ 13.3.4

$17$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

ステップ 13.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$2$ に $- 510$ をかけます。

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

ステップ 13.4.2

$16$ に $289$ をかけます。

$- \frac{- 1020}{4624}$

ステップ 13.4.3

$- 1020$ と $4624$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.3.1

$68$ を $- 1020$ で因数分解します。

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

ステップ 13.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.3.2.1

$68$ を $4624$ で因数分解します。

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

ステップ 13.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

ステップ 13.4.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{- 15}{68}$

ステップ 13.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{15}{68}$

ステップ 13.5

$- - \frac{15}{68}$ を掛けます。

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ステップ 13.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{15}{68})$

ステップ 13.5.2

$\frac{15}{68}$ に $1$ をかけます。

$\frac{15}{68}$

ステップ 14

$x = 4$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4$ は極小値です

ステップ 15

$x = 4$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.2.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (4)$ を簡約します。

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

ステップ 15.2.1.2

$4$ を $4$ 乗します。

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

ステップ 15.2.1.3

$\arctan (4)$ の値を求めます。

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

ステップ 15.2.1.4

$- 17$ に $1.32581766$ をかけます。

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

ステップ 15.2.2

$\ln (256)$ から $22.53890028$ を引きます。

$f (4) = - 16.99372283$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 16.99372283$ です。

$y = - 16.99372283$

ステップ 16

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ の極値です。

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ は極大値です

$(4, - 16.99372283)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例