微分積分例

$f (x) = 4 \cos (4 x - 2)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \cos (4 x - 2)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 2)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 2)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 2$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 2$ で置き換えます。

$4 (- \sin (4 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 (\sin (4 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $4 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$- 4 \sin (4 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.3.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 + 0)$

ステップ 1.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 4 \sin (4 x - 2) \cdot 4$

ステップ 1.3.7.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$- 16 \sin (4 x - 2)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 \sin (4 x - 2)$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 2)]$ です。

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \sin (4 x - 2)$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 2$ とします。

$f'' (x) = - 16 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 2$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 16 (\cos (4 x - 2) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $4 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 2.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 2.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 2.3.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 + 0)$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) \cdot 4$

ステップ 2.3.6.2

$4$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = - 64 \cos (4 x - 2)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 16 \sin (4 x - 2) = 0$

ステップ 4

$- 16 \sin (4 x - 2) = 0$ の各項を $- 16$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 16 \sin (4 x - 2) = 0$ の各項を $- 16$ で割ります。

$\frac{- 16 \sin (4 x - 2)}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 16 \sin (4 x - 2)}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (4 x - 2)$ を $1$ で割ります。

$\sin (4 x - 2) = \frac{0}{- 16}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $- 16$ で割ります。

$\sin (4 x - 2) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x - 2 = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 x - 2 = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $2$ を足します。

$4 x = 2$

ステップ 8

$4 x = 2$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$4 x = 2$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

ステップ 8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{4}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 8.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 9

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$4 x - 2 = π - 0$

ステップ 10

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$π$ から $0$ を引きます。

$4 x - 2 = π$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$4 x = π + 2$

ステップ 10.3

$4 x = π + 2$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$4 x = π + 2$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

ステップ 10.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

ステップ 10.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

ステップ 10.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 10.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$

ステップ 11

方程式 $4 x - 2 = 0$ に対する解です。

$x = \frac{1}{2}, \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$

ステップ 12

$x = \frac{1}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 64 \cos (4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 64 \cos (2 (2) \frac{1}{2} - 2)$

ステップ 13.1.2

共通因数を約分します。

$- 64 \cos (2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 2)$

ステップ 13.1.3

式を書き換えます。

$- 64 \cos (2 - 2)$

ステップ 13.2

$2$ から $2$ を引きます。

$- 64 \cos (0)$

ステップ 13.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 64 \cdot 1$

ステップ 13.4

$- 64$ に $1$ をかけます。

$- 64$

ステップ 14

$x = \frac{1}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{1}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 (2) (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 15.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) - 2)$

ステップ 15.2.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 - 2)$

ステップ 15.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (0)$

ステップ 15.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cdot 1$

ステップ 15.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = 4$

ステップ 15.2.5

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 16

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 64 \cos (4 (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

分配則を当てはめます。

$- 64 \cos (4 \frac{π}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 17.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.2.1

共通因数を約分します。

$- 64 \cos (4 \frac{π}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 17.1.2.2

式を書き換えます。

$- 64 \cos (π + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 17.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 64 \cos (π + 2 (2) \frac{1}{2} - 2)$

ステップ 17.1.3.2

共通因数を約分します。

$- 64 \cos (π + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 2)$

ステップ 17.1.3.3

式を書き換えます。

$- 64 \cos (π + 2 - 2)$

ステップ 17.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$- 64 \cos (π + 0)$

ステップ 17.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$- 64 \cos (π)$

ステップ 17.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 64 (- \cos (0))$

ステップ 17.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 64 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.5

$- 64 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 64 \cdot - 1$

ステップ 17.5.2

$- 64$ に $- 1$ をかけます。

$64$

ステップ 18

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ は極小値です

ステップ 19

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 19.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 19.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 19.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 (2) (\frac{1}{2}) - 2)$

ステップ 19.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) - 2)$

ステップ 19.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 - 2)$

ステップ 19.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 0)$

ステップ 19.2.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π)$

ステップ 19.2.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 (- \cos (0))$

ステップ 19.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 19.2.5

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cdot - 1$

ステップ 19.2.5.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = - 4$

ステップ 19.2.6

最終的な答えは $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 20

$f (x) = 4 \cos (4 x - 2)$ の極値です。

$(\frac{1}{2}, 4)$ は極大値です

$(\frac{π}{4} + \frac{1}{2}, - 4)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例