微分積分例

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.9

$4$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.10

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.11

$2$ を $12 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.12.3

式を書き換えます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.2.12.4

$6 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

ステップ 1.3.2

$6 x^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 2.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.9

$6$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.12.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.12.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.9

$4$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.10

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.11

$2$ を $12 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.12.3

式を書き換えます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.2.12.4

$6 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

ステップ 4.1.3.2

$6 x^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$6 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 5.2

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.2.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.4

指数を簡約します。

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ステップ 5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.4.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 5.4.1.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$6 \sqrt{x^{1}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$6 \sqrt{x}$

ステップ 6.2

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{0^{1}}$

ステップ 9.3

指数を求めます。

$\frac{3}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例