微分積分例

$f (x) = 4 {(4 x^{2} - 36)}^{2} + 3$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 {(4 x^{2} - 36)}^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 36)}^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 36)}^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 4 x^{2} - 36$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} - 36$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 36]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 36]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} - 36$ で置き換えます。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 36]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $4 x^{2} - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36])) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.6

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (4 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.7

$2$ に $4$ をかけます。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (8 x + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.8

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (8 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.9

$8$ に $2$ をかけます。

$4 (16 (4 x^{2} - 36) x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.10

$16$ に $4$ をかけます。

$64 (4 x^{2} - 36) x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$64 (4 x^{2} - 36) x + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$(64 (4 x^{2}) + 64 \cdot - 36) x + 0$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$64 (4 x^{2}) x + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$4$ に $64$ をかけます。

$256 x^{2} x + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 1.4.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$256 (x^{1} x^{2}) + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 1.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 x^{1 + 2} + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 1.4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$256 x^{3} + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 1.4.3.5

$64$ に $- 36$ をかけます。

$256 x^{3} - 2304 x + 0$

ステップ 1.4.3.6

$256 x^{3} - 2304 x$ と $0$ をたし算します。

$256 x^{3} - 2304 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $256 x^{3} - 2304 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [256 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2304 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (256 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2304 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [256 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$256$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $256 x^{3}$ の微分係数は $256 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2304 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 256 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2304 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $256$ をかけます。

$f'' (x) = 768 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2304 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2304 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2304$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2304 x$ の微分係数は $- 2304 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 768 x^{2} - 2304 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 768 x^{2} - 2304 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 2304$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 768 x^{2} - 2304$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$256 x^{3} - 2304 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $4 {(4 x^{2} - 36)}^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(4 x^{2} - 36)}^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 36)}^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 36)}^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 4 x^{2} - 36$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} - 36$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 36]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 36]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} - 36$ で置き換えます。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 36]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $4 x^{2} - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36])) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.6

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (4 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.7

$2$ に $4$ をかけます。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (8 x + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.8

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$4 (2 (4 x^{2} - 36) (8 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.9

$8$ に $2$ をかけます。

$4 (16 (4 x^{2} - 36) x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.10

$16$ に $4$ をかけます。

$64 (4 x^{2} - 36) x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$64 (4 x^{2} - 36) x + 0$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$(64 (4 x^{2}) + 64 \cdot - 36) x + 0$

ステップ 4.1.4.2

分配則を当てはめます。

$64 (4 x^{2}) x + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 4.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.1

$4$ に $64$ をかけます。

$256 x^{2} x + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 4.1.4.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$256 (x^{1} x^{2}) + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 4.1.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 x^{1 + 2} + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 4.1.4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$256 x^{3} + 64 \cdot - 36 x + 0$

ステップ 4.1.4.3.5

$64$ に $- 36$ をかけます。

$256 x^{3} - 2304 x + 0$

ステップ 4.1.4.3.6

$256 x^{3} - 2304 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 256 x^{3} - 2304 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $256 x^{3} - 2304 x$ です。

$256 x^{3} - 2304 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $256 x^{3} - 2304 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$256 x^{3} - 2304 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$256 x$ を $256 x^{3} - 2304 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$256 x$ を $256 x^{3}$ で因数分解します。

$256 x (x^{2}) - 2304 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$256 x$ を $- 2304 x$ で因数分解します。

$256 x (x^{2}) + 256 x (- 9) = 0$

ステップ 5.2.1.3

$256 x$ を $256 x (x^{2}) + 256 x (- 9)$ で因数分解します。

$256 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 5.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$256 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 5.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$256 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 5.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$256 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.7

最終解は $256 x (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$768 {(0)}^{2} - 2304$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$768 \cdot 0 - 2304$

ステップ 9.1.2

$768$ に $0$ をかけます。

$0 - 2304$

ステップ 9.2

$0$ から $2304$ を引きます。

$- 2304$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 4 {(4 {(0)}^{2} - 36)}^{2} + 3$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 4 {(4 \cdot 0 - 36)}^{2} + 3$

ステップ 11.2.1.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 4 {(0 - 36)}^{2} + 3$

ステップ 11.2.1.2

$0$ から $36$ を引きます。

$f (0) = 4 {(- 36)}^{2} + 3$

ステップ 11.2.1.3

$- 36$ を $2$ 乗します。

$f (0) = 4 \cdot 1296 + 3$

ステップ 11.2.1.4

$4$ に $1296$ をかけます。

$f (0) = 5184 + 3$

ステップ 11.2.2

$5184$ と $3$ をたし算します。

$f (0) = 5187$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $5187$ です。

$y = 5187$

ステップ 12

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$768 {(- 3)}^{2} - 2304$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$768 \cdot 9 - 2304$

ステップ 13.1.2

$768$ に $9$ をかけます。

$6912 - 2304$

ステップ 13.2

$6912$ から $2304$ を引きます。

$4608$

ステップ 14

$x = - 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 3$ は極小値です

ステップ 15

$x = - 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = 4 {(4 {(- 3)}^{2} - 36)}^{2} + 3$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = 4 {(4 \cdot 9 - 36)}^{2} + 3$

ステップ 15.2.1.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = 4 {(36 - 36)}^{2} + 3$

ステップ 15.2.1.2

$36$ から $36$ を引きます。

$f (- 3) = 4 \cdot 0^{2} + 3$

ステップ 15.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (- 3) = 4 \cdot 0 + 3$

ステップ 15.2.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$f (- 3) = 0 + 3$

ステップ 15.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (- 3) = 3$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 16

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$768 {(3)}^{2} - 2304$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$768 \cdot 9 - 2304$

ステップ 17.1.2

$768$ に $9$ をかけます。

$6912 - 2304$

ステップ 17.2

$6912$ から $2304$ を引きます。

$4608$

ステップ 18

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 19

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 4 {(4 {(3)}^{2} - 36)}^{2} + 3$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 4 {(4 \cdot 9 - 36)}^{2} + 3$

ステップ 19.2.1.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 4 {(36 - 36)}^{2} + 3$

ステップ 19.2.1.2

$36$ から $36$ を引きます。

$f (3) = 4 \cdot 0^{2} + 3$

ステップ 19.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (3) = 4 \cdot 0 + 3$

ステップ 19.2.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$f (3) = 0 + 3$

ステップ 19.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (3) = 3$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 20

$f (x) = 4 {(4 x^{2} - 36)}^{2} + 3$ の極値です。

$(0, 5187)$ は極大値です

$(- 3, 3)$ は極小値です

$(3, 3)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例