微分積分例

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4.1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4.1 \sin (x)$ の微分係数は $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1.6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.6 \cos (x)$ の微分係数は $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $- 1.6$ をかけます。

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4.1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4.1 \cos (x)$ の微分係数は $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $4.1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$1.6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $1.6 \sin (x)$ の微分係数は $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

ステップ 4

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2

$4.1$ を $1$ で割ります。

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6

分数を分解します。

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 8

$1.6$ を $1$ で割ります。

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 9

分数を分解します。

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 11

$0$ を $1$ で割ります。

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 12

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

ステップ 13

方程式の両辺から $4.1$ を引きます。

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

ステップ 14

$1.6 \tan (x) = - 4.1$ の各項を $1.6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$1.6 \tan (x) = - 4.1$ の各項を $1.6$ で割ります。

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

ステップ 14.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$1.6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

ステップ 14.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

ステップ 14.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$- 4.1$ を $1.6$ で割ります。

$\tan (x) = - 2.5625$

ステップ 15

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 2.5625)$

ステップ 16

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\arctan (- 2.5625)$ の値を求めます。

$x = - 1.19872856$

ステップ 17

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

ステップ 18

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$2 π$ に $- 1.19872856 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 18.2

$1.94286408$ の結果の角度は正で $- 1.19872856 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 1.94286408$

ステップ 19

方程式 $x = - 1.19872856$ に対する解です。

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

ステップ 20

$x = - 1.19872856$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

ステップ 21

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1.1

$- 4.1$ に $\sin (- 1.19872856)$ をかけます。

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

ステップ 21.1.2

$1.6$ に $\cos (- 1.19872856)$ をかけます。

$3.81946823 + 0.58166797$

ステップ 21.2

$3.81946823$ と $0.58166797$ をたし算します。

$4.40113621$

ステップ 22

$x = - 1.19872856$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1.19872856$ は極小値です

ステップ 23

$x = - 1.19872856$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

式の変数 $x$ を $- 1.19872856$ で置換えます。

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

ステップ 23.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.1

$4.1$ に $\sin (- 1.19872856)$ をかけます。

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

ステップ 23.2.1.2

$- 1.6$ に $\cos (- 1.19872856)$ をかけます。

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

ステップ 23.2.2

$- 3.81946823$ から $0.58166797$ を引きます。

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

ステップ 23.2.3

最終的な答えは $- 4.40113621$ です。

$y = - 4.40113621$

ステップ 24

$x = 1.94286408$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

ステップ 25

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1.1

$- 4.1$ に $\sin (1.94286408)$ をかけます。

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

ステップ 25.1.2

$1.6$ に $\cos (1.94286408)$ をかけます。

$- 3.81946823 - 0.58166797$

ステップ 25.2

$- 3.81946823$ から $0.58166797$ を引きます。

$- 4.40113621$

ステップ 26

$x = 1.94286408$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1.94286408$ は極大値です

ステップ 27

$x = 1.94286408$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

式の変数 $x$ を $1.94286408$ で置換えます。

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

ステップ 27.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1.1

$4.1$ に $\sin (1.94286408)$ をかけます。

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

ステップ 27.2.1.2

$- 1.6$ に $\cos (1.94286408)$ をかけます。

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

ステップ 27.2.2

$3.81946823$ と $0.58166797$ をたし算します。

$f (1.94286408) = 4.40113621$

ステップ 27.2.3

最終的な答えは $4.40113621$ です。

$y = 4.40113621$

ステップ 28

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ の極値です。

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ は極小値です

$(1.94286408, 4.40113621)$ は極大値です

ステップ 29

微分積分 例

微分積分例