微分積分例

$f (x) = 35 x - 2 e^{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $35 x - 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [35 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$35$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $35 x$ の微分係数は $35 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 1.2.3

$35$ に $1$ をかけます。

$35 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$35 - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$35 - 2 e^{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $35 - 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [35] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (35) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

ステップ 2.1.2

$35$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $35$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} e^{x}$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - 2 e^{x}$

ステップ 2.3

$0$ から $2 e^{x}$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$35 - 2 e^{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $35 x - 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [35 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$35$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $35 x$ の微分係数は $35 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 4.1.2.3

$35$ に $1$ をかけます。

$35 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$35 - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = 35 - 2 e^{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $35 - 2 e^{x}$ です。

$35 - 2 e^{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $35 - 2 e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$35 - 2 e^{x} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $35$ を引きます。

$- 2 e^{x} = - 35$

ステップ 5.3

$- 2 e^{x} = - 35$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 2 e^{x} = - 35$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 e^{x}}{- 2} = \frac{- 35}{- 2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 e^{x}}{- 2} = \frac{- 35}{- 2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{- 35}{- 2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$e^{x} = \frac{35}{2}$

ステップ 5.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{35}{2})$

ステップ 5.5

左辺を展開します。

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ステップ 5.5.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{35}{2})$

ステップ 5.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{35}{2})$

ステップ 5.5.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{35}{2})$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \ln (\frac{35}{2})$

ステップ 8

$x = \ln (\frac{35}{2})$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$- 2 (\frac{35}{2})$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{35}{2}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{35}{2}$

ステップ 9.2.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 35$

ステップ 9.3

$- 1$ に $35$ をかけます。

$- 35$

ステップ 10

$x = \ln (\frac{35}{2})$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \ln (\frac{35}{2})$ は極大値です

ステップ 11

$x = \ln (\frac{35}{2})$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\ln (\frac{35}{2})$ で置換えます。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = 35 (\ln (\frac{35}{2})) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

対数の中の $35$ を移動させて $35 (\ln (\frac{35}{2}))$ を簡約します。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln ({(\frac{35}{2})}^{35}) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

ステップ 11.2.1.2

積の法則を $\frac{35}{2}$ に当てはめます。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{2^{35}}) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

ステップ 11.2.1.3

$2$ を $35$ 乗します。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

ステップ 11.2.1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 2 (\frac{35}{2})$

ステップ 11.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) + 2 (- 1) (\frac{35}{2})$

ステップ 11.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) + 2 \cdot (- 1 (\frac{35}{2}))$

ステップ 11.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 1 \cdot 35$

ステップ 11.2.1.6

$- 1$ に $35$ をかけます。

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $\ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35$ です。

$y = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35$

ステップ 12

$f (x) = 35 x - 2 e^{x}$ の極値です。

$(\ln (\frac{35}{2}), \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例