微分積分例

$f (x) = 32 x^{0.25}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 x^{0.25}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ です。

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

ステップ 1.2

$n = 0.25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

ステップ 1.3

$0.25$ に $32$ をかけます。

$8 x^{- 0.75}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

ステップ 1.4.2

$8$ と $\frac{1}{x^{0.75}}$ をまとめます。

$\frac{8}{x^{0.75}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8}{x^{0.75}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{0.75}}$ を ${(x^{0.75})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

ステップ 2.2.2

${(x^{0.75})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

ステップ 2.2.2.2

$0.75$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

ステップ 2.3

$n = - 0.75$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

ステップ 2.4

$- 0.75$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

$- 6$ と $\frac{1}{x^{1.75}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 x^{0.25}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ です。

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

ステップ 4.1.2

$n = 0.25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

ステップ 4.1.3

$0.25$ に $32$ をかけます。

$8 x^{- 0.75}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

ステップ 4.1.4.2

$8$ と $\frac{1}{x^{0.75}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{8}{x^{0.75}}$ です。

$\frac{8}{x^{0.75}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$8 = 0$

ステップ 5.3

$8 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 6.1.1

$0.75$ を分数に変えます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{100}{100}$ を掛け、少数を削除します。

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

ステップ 6.1.1.2

$100$ に $0.75$ をかけます。

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

ステップ 6.1.1.3

$75$ と $100$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

ステップ 6.1.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$25$ を $100$ で因数分解します。

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

ステップ 6.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

ステップ 6.1.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 6.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

ステップ 6.2

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{4}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{3} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{3} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.3.3.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.3.3.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6.4

$\sqrt[4]{x^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.5.2

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.5.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x < 0$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{6}{0}$

ステップ 9.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例