微分積分例

$f (x) = 3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{y}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{y}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$n = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 y x^{y - 1} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y x^{y - 1} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$ と $0$ をたし算します。

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 1.6.2

項を並べ替えます。

$- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$

ステップ 1.6.3

$- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$ の因数を並べ替えます。

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = - 24 x + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y x^{y - 1}$ の微分係数は $3 y \frac{d}{d x} [x^{y - 1}]$ です。

$f'' (x) = - 24 x + 3 y \frac{d}{d x} (x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.3.2

$n = y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.3.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 3 x^{y - 2} y (y - 1) - 24 x - 24$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例