微分積分例

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \csc (4 x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\csc (u)$ の微分係数は $- \csc (u) \cot (u)$ です。

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$- 12$ に $1$ をかけます。

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

ステップ 1.3.5.2

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ です。

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cot (4 x)$ および $g (x) = \csc (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.3

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.3.2

$u_{1}$ に関する $\csc (u_{1})$ の微分係数は $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ です。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.4

$\cot (4 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.5

$\cot (4 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.7.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.7.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.7.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

ステップ 2.8

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

ステップ 2.8.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

ステップ 2.8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

ステップ 2.9

$\csc (4 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

ステップ 2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

ステップ 2.11

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

ステップ 2.12

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.13

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

ステップ 2.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

ステップ 2.15

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

ステップ 2.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

ステップ 2.16.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.2.1

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

ステップ 2.16.2.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

ステップ 2.16.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

ステップ 5

$\cot (4 x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\cot (4 x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (4 x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cot (4 x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$4 x = arccot (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$4 x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

$4 x = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$4 x = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 5.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 5.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 5.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.2.3.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 5.2.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$4 x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5.1.2

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 5.2.5.1.4

$π \cdot 2$ と $π$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.4.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 5.2.5.1.4.2

$2 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

ステップ 5.2.5.2

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

ステップ 5.2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

ステップ 5.2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

ステップ 5.2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.5.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.2.5.2.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 5.2.6

方程式 $4 x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

ステップ 6

$\csc (4 x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\csc (4 x)$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (4 x) = 0$

ステップ 6.2

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

最終解は $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

ステップ 8

$x = \frac{π}{8}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.1.2

共通因数を約分します。

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.1.3

式を書き換えます。

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.2

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.4

$48$ に $0$ をかけます。

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.5.2

共通因数を約分します。

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.5.3

式を書き換えます。

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.6

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.7

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 9.1.8

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

ステップ 9.1.8.2

共通因数を約分します。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

ステップ 9.1.8.3

式を書き換えます。

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

ステップ 9.1.9

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

ステップ 9.1.10

1のすべての数の累乗は1です。

$0 + 48 \cdot 1$

ステップ 9.1.11

$48$ に $1$ をかけます。

$0 + 48$

ステップ 9.2

$0$ と $48$ をたし算します。

$48$

ステップ 10

$x = \frac{π}{8}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{8}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{π}{8}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{8}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

ステップ 11.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

ステップ 11.2.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 11.2.2

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

ステップ 11.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{8}) = 3$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 12

$x = \frac{3 π}{8}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.1.2

共通因数を約分します。

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.1.3

式を書き換えます。

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余割は第四象限で負であるため、式を負にします。

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.3

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.6

$48$ に $0$ をかけます。

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.7

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.7.2

共通因数を約分します。

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.7.3

式を書き換えます。

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.9

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.10

$0 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.10.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.10.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 13.1.11

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.11.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

ステップ 13.1.11.2

共通因数を約分します。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

ステップ 13.1.11.3

式を書き換えます。

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.12

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

ステップ 13.1.13

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

ステップ 13.1.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

ステップ 13.1.15

$- 1$ を $3$ 乗します。

$0 + 48 \cdot - 1$

ステップ 13.1.16

$48$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 48$

ステップ 13.2

$0$ から $48$ を引きます。

$- 48$

ステップ 14

$x = \frac{3 π}{8}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{8}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{8}$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{8}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

ステップ 15.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

ステップ 15.2.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

ステップ 15.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

ステップ 15.2.3

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.2.4

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 15.2.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

ステップ 15.2.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

ステップ 15.2.5

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 16

$f (x) = 3 \csc (4 x)$ の極値です。

$(\frac{π}{8}, 3)$ は極小値です

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例