微分積分例

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{3} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ です。

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

ステップ 1.3.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.4.2

$3 \sin (x)$ を $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.2.1

$3 \sin (x)$ を $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.4.2.2

$3 \sin (x)$ を $- 3 \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

ステップ 1.4.2.3

$3 \sin (x)$ を $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

ステップ 1.4.3

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 1.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

ステップ 1.4.5

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

ステップ 1.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 1.4.7

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 1.4.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

ステップ 1.4.9

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.4.9.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

ステップ 1.4.9.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 1.4.9.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

ステップ 1.4.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

ステップ 1.4.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

ステップ 1.4.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sin^{3} (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \sin^{3} (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 2.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

ステップ 4

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin^{3} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 3$ で割ります。

$\sin^{3} (x) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

ステップ 6

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = 0$

ステップ 7

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 8

右辺を簡約します。

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ステップ 8.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 9

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 10

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 11

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 12

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

ステップ 13.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

ステップ 13.3

$- 9$ に $0$ をかけます。

$0 \cos (0)$

ステップ 13.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1$

ステップ 13.5

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $- 3 \sin^{3} (x)$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

ステップ 14.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.2.1

$\sin (- 2)$ の値を求めます。

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

ステップ 14.2.2.2

$- 0.90929742$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

ステップ 14.2.2.3

$- 3$ に $- 0.75182694$ をかけます。

$f' (- 2) = 2.25548083$

ステップ 14.2.2.4

最終的な答えは $2.25548083$ です。

$2.25548083$

ステップ 14.3

一次導関数 $- 3 \sin^{3} (x)$ の区間 $(0, π)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

ステップ 14.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1

$\sin (2)$ の値を求めます。

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

ステップ 14.3.2.2

$0.90929742$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

ステップ 14.3.2.3

$- 3$ に $0.75182694$ をかけます。

$f' (2) = - 2.25548083$

ステップ 14.3.2.4

最終的な答えは $- 2.25548083$ です。

$- 2.25548083$

ステップ 14.4

一次導関数 $- 3 \sin^{3} (x)$ の区間 $(π, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$\sin (6)$ の値を求めます。

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

ステップ 14.4.2.2

$- 0.27941549$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

ステップ 14.4.2.3

$- 3$ に $- 0.02181481$ をかけます。

$f' (6) = 0.06544443$

ステップ 14.4.2.4

最終的な答えは $0.06544443$ です。

$0.06544443$

ステップ 14.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 14.6

$x = π$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = π$ は極小値です。

$x = π$ は極小値です

ステップ 14.7

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ の極値です。

$x = 0$ は極大値です

$x = π$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = π$ は極小値です

ステップ 15

微分積分 例

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