微分積分例

$f (x) = 3 \cos (5 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (5 x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$3 (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (\sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.3.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$- 15 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 \sin (5 x) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$- 15$ に $1$ をかけます。

$- 15 \sin (5 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 \sin (5 x)$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ です。

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} \sin (5 x)$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$f'' (x) = - 15 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (5 x))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - 15 (\cos (u) \frac{d}{d x} (5 x))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 15 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 15 \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$5$ に $- 15$ をかけます。

$f'' (x) = - 75 \cos (5 x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 75 \cos (5 x) \cdot 1$

ステップ 2.3.4

$- 75$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 75 \cos (5 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 15 \sin (5 x) = 0$

ステップ 4

$- 15 \sin (5 x) = 0$ の各項を $- 15$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- 15 \sin (5 x) = 0$ の各項を $- 15$ で割ります。

$\frac{- 15 \sin (5 x)}{- 15} = \frac{0}{- 15}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 15 \sin (5 x)}{- 15} = \frac{0}{- 15}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (5 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (5 x) = \frac{0}{- 15}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 15$ で割ります。

$\sin (5 x) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$5 x = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$5 x = 0$

ステップ 7

$5 x = 0$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$5 x = 0$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{5}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$0$ を $5$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$5 x = π - 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$5 x = π + 0$

ステップ 9.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$5 x = π$

ステップ 9.2

$5 x = π$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$5 x = π$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{π}{5}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{π}{5}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{5}$

ステップ 10

方程式 $5 x = 0$ に対する解です。

$x = 0, \frac{π}{5}$

ステップ 11

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 75 \cos (5 (0))$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

$5$ に $0$ をかけます。

$- 75 \cos (0)$

ステップ 12.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 75 \cdot 1$

ステップ 12.3

$- 75$ に $1$ をかけます。

$- 75$

ステップ 13

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 14

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 3 \cos (5 (0))$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 3 \cos (0)$

ステップ 14.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 3 \cdot 1$

ステップ 14.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 3$

ステップ 14.2.4

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 15

$x = \frac{π}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 75 \cos (5 (\frac{π}{5}))$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

共通因数を約分します。

$- 75 \cos (5 \frac{π}{5})$

ステップ 16.1.2

式を書き換えます。

$- 75 \cos (π)$

ステップ 16.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 75 (- \cos (0))$

ステップ 16.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 75 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.4

$- 75 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 75 \cdot - 1$

ステップ 16.4.2

$- 75$ に $- 1$ をかけます。

$75$

ステップ 17

$x = \frac{π}{5}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{5}$ は極小値です

ステップ 18

$x = \frac{π}{5}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{5}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{5}) = 3 \cos (5 (\frac{π}{5}))$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{5}) = 3 \cos (5 (\frac{π}{5}))$

ステップ 18.2.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{5}) = 3 \cos (π)$

ステップ 18.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{5}) = 3 (- \cos (0))$

ステップ 18.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{5}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 18.2.4

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{5}) = 3 \cdot - 1$

ステップ 18.2.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{π}{5}) = - 3$

ステップ 18.2.5

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 19

$f (x) = 3 \cos (5 x)$ の極値です。

$(0, 3)$ は極大値です

$(\frac{π}{5}, - 3)$ は極小値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例